הסתברות

נבנה עץ הסתברויות (דיאגרמת עץ) לשתי הבדיקות:

„בדיוק באחת הבדיקות תקין” – תקין בראשונה ולא בשנייה, או לא תקין בראשונה ותקין בשנייה:

תשובה: $0.15$

המאורע המשלים ל„המחשב נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות” הוא „המחשב לא נמצא תקין באף אחת מהבדיקות”:

תשובה: $0.87$

נסמן: $A$ – המחשב הועבר למכירה (נמצא תקין בשתי הבדיקות), $B$ – המחשב נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות.

המאורע $A$ מוכל במאורע $B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)=0.72$.

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/B)$. לפי נוסחת

נציב:

תשובה: $\frac{24}{29}\approx 0.828$

ההסתברות שמחשב מועבר למכירה היא $0.72$, ולכן:

תשובה: 180 מחשבים.

במחזור יש 180 מחשבים שהועברו למכירה ו־$250-180=70$ שלא הועברו. בוחרים שניים בלי החזרה. „בדיוק אחד הועבר למכירה” – הראשון כן והשני לא, או להפך:

תשובה: $\frac{168}{415}\approx 0.405$

נסמן את מספר הפלפלים הקטנים ב־$k$. אז מספר הגדולים הוא $4k$, ובסך הכול יש $5k$ פלפלים. ההסתברות לבחור פלפל קטן:

תשובה: $0.2$

הסתברות לפלפל גדול: $0.8$. מן הגדולים $0.6$ אדומים, ולכן $1-0.6=0.4$ צהובים. מן הקטנים $0.75$ אדומים ו־$0.25$ ירוקים. נבנה עץ:

פלפל גדול וצהוב: $0.8\cdot 0.4=0.32$.

תשובה: $0.32$

פלפל אדום יכול להיות גדול או קטן:

תשובה: $0.63$

נסמן: $A$ – הפלפל גדול, $B$ – הפלפל אדום.

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

נציב:

תשובה: $\frac{16}{21}\approx 0.762$

נסמן: $A$ – הפלפל גדול, $B$ – הפלפל אדום (כמו בסעיף ג (2)), ו־$\bar{B}$ – הפלפל אינו אדום (צהוב או ירוק).

לבית אריזה א׳ מגיעים כל האדומים, ולכן אחוז הגדולים בו הוא $P(A/B)$, שחישבנו בסעיף ג (2):

לבית אריזה ב׳ מגיעים הצהובים (כולם גדולים) והירוקים (כולם קטנים), כלומר הפלפלים שאינם אדומים. אחוז הגדולים בו הוא $P(A/\bar{B})$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

גדול ולא אדום = גדול וצהוב: $P(A\cap \bar{B})=0.32$; $P(\bar{B})=0.32+0.05=0.37$. נציב:

$76.2\%<86.5\%$, ולכן אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א׳ קטן מאחוז הגדולים בבית אריזה ב׳.

תשובה: קטן (76.2% לעומת 86.5%).

נסמן ב־$p$ את ההסתברות שמשפחה ממחזרת. ההסתברות שאינה ממחזרת היא $1-p$:

תשובה: 72%

$\frac{5}{9}$ מהממחזרות מתנדבות:

תשובה: 40%

המשפחות שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות: $\frac{0.4}{5}=0.08$. נבנה טבלה דו־ממדית:

לא ממחזרת ומתנדבת: $0.28-0.08=0.2$. ההסתברות שמשפחה מתנדבת:

תשובה: $0.6$

נסמן: $A$ – המשפחה אינה ממחזרת, $B$ – המשפחה מתנדבת. ידוע שהמשפחה מתנדבת, ולכן המבוקש הוא $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה בסעיף ב: $P(A\cap B)=0.2$, $P(B)=0.6$. נציב:

תשובה: $\frac{1}{3}$

„ממחזרות או מתנדבות” – כל המשפחות פרט לאלה שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות:

תשובה: 690 משפחות.

במגירה א׳ יש 16 פירות (5 תפוחים, 11 אגסים) ובמגירה ב׳ 10 פירות (4 תפוחים, 6 אגסים). ההוצאות בלתי תלויות.

שני פירות מסוגים שונים – תפוח מא׳ ואגס מב׳, או אגס מא׳ ותפוח מב׳:

תשובה: $\frac{37}{80}=0.4625$

המשלים של „לפחות תפוח אחד” הוא „שני אגסים”:

תשובה: $\frac{47}{80}=0.5875$

נסמן: $A$ – הוציאו שני תפוחים, $B$ – הוציאו לפחות תפוח אחד. ידוע ש־$B$ התרחש, ולכן המבוקש הוא $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

אם הוציאו שני תפוחים, הוציאו בוודאי לפחות תפוח אחד: $A$ מוכל ב־$B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)$:

מסעיף ב (1): $P(B)=\frac{94}{160}$. נציב:

תשובה: $\frac{10}{47}\approx 0.213$

במגירה ג׳: $5+4+x=9+x$ תפוחים ו־$11+6=17$ אגסים, ובסך הכול $26+x$ פירות. מוציאים שני פירות בלי החזרה:

$x=8$ ($x=-59$ נפסל, כי $x$ הוא מספר תפוחים).

תשובה: $x=8$

נסמן: $G$ – התלמיד הוא בת, $B$ – התלמיד הוא בן, $V$ – התלמיד מתנדב.

נתון: $P(V)=0.75$, ומבין המתנדבים $\frac{3}{5}$ הם בנות, כלומר $P(G/V)=\frac{3}{5}$.

תשובה: 0.45

מספר הבנות שמתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות, ולכן גם ההסתברויות מקיימות:

נשלים טבלה דו־ממדית:

תשובה: 40% מתלמידי השכבה הם בנים.

המאורעות כמו בסעיף א: $B$ – התלמיד הוא בן, $V$ – התלמיד מתנדב. ידוע שהתלמיד שנבחר הוא בן, ולכן המבוקש הוא $P(V/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(B\cap V)=0.75-0.45=0.30$, $P(B)=0.4$. נציב:

תשובה: 0.75

המאורעות כמו בסעיף א: $G$ – התלמיד הוא בת, $B$ – התלמיד הוא בן, $V$ – התלמיד מתנדב.

אחוז המתנדבות מבין הבנות הוא ההסתברות המותנית $P(V/G)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(G\cap V)=0.45$, $P(G)=0.6$. נציב:

אחוז המתנדבים מבין הבנים (סעיף ג): $P(V/B)=0.75$.

שני האחוזים שווים (75%), ולכן המשפט של דנה אינו נכון.

תשובה: לא נכון – בשתי הקבוצות 75% מתנדבים.

נסמן: $B$ – התלמיד הוא בן, $G$ – התלמיד היא בת, $L$ – יש לתלמיד רישיון נהיגה.

ל־$\frac{1}{3}$ מהבנים יש רישיון, ולכן ל־$\frac{2}{3}$ מהבנים אין רישיון: $P(\bar{L}/B)=\frac{2}{3}$. נתון $P(B\cap \bar{L})=0.25$:

תשובה: 37.5% מתלמידי השכבה הם בנים.

נתון שההסתברות לבחור בן עם רישיון שווה להסתברות לבחור בת עם רישיון: $P(G\cap L)=0.125$. נשלים טבלה:

המאורעות כמו בסעיף א: $B$ – התלמיד הוא בן, $\bar{L}$ – אין לתלמיד רישיון נהיגה. ידוע שלתלמיד שנבחר אין רישיון, ולכן המבוקש הוא $P(B/\bar{L})$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(B\cap \bar{L})=0.25$, $P(\bar{L})=0.75$. נציב:

תשובה: $\frac{1}{3}$

הבנים הם 37.5% מתלמידי השכבה. נסמן ב־$N$ את מספר התלמידים בשכבה:

תשובה: 184 תלמידים.

אחרי ההצטרפות יש בשכבה $184+26=210$ תלמידים. נסמן ב־$k$ את מספר הבנים שהצטרפו, כך שיש $69+k$ בנים.

בחירה בזה אחר זה ללא החזרה:

$k=7$ או $k=-144$ (נפסל, כי מספר בנים אינו שלילי).

בדיקה: $\frac{76}{210}\cdot \frac{75}{209}=\frac{5700}{43890}=\frac{10}{77}$ ✓

תשובה: הצטרפו 7 בנים.

נסמן ב־$p$ את ההסתברות שרועי ינצח בסיבוב. אז ההסתברות שגלית תנצח היא $3p$, וההסתברות לתיקו 0.28. סכום ההסתברויות של כל התוצאות האפשריות הוא 1:

תשובה: 0.54

ההסתברות שסיבוב לא יסתיים בתיקו: $1-0.28=0.72$. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן:

תשובה: 0.5184

נשתמש במאורע המשלים: גלית לא מנצחת באף סיבוב. ההסתברות שגלית לא תנצח בסיבוב היא $1-0.54=0.46$:

תשובה: 0.7884

נסמן: $A$ – גלית ניצחה לפחות באחד מהסיבובים, $B$ – אחד מהסיבובים הסתיים בתיקו.

המאורע $A\cap B$: סיבוב אחד ניצחון של גלית והסיבוב השני תיקו – בשני סדרים אפשריים (גלית ואז תיקו, או תיקו ואז גלית):

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(B/A)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

לפי סעיף ג, $P(A)=0.7884$. נציב:

תשובה: $\frac{28}{73}\approx 0.384$

נסמן: $R$ – הדירה משופצת, $P$ – הדירה פונה לפארק, $K$ – הדירה פונה לכביש.

מספר הדירות המשופצות גדול פי 4 ממספר הדירות שאינן משופצות, ולכן $P(R)=4P(\bar{R})$:

תשובה: 0.8

$P(K)=1-\frac{3}{4}=0.25$, ו־28% מהדירות הפונות לכביש משופצות: $P(R/K)=0.28$.

תשובה: 0.07

נשלים טבלה דו־ממדית. כל משבצת חסרה מתקבלת מסכום השורה או העמודה:

נבחרת דירה מבין הדירות שאינן משופצות, כלומר ידוע שהתרחש $\bar{R}$ (הדירה אינה משופצת), ושואלים מה ההסתברות שהיא פונה לכביש ($K$). המבוקש: $P(K/\bar{R})$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(K\cap \bar{R})=0.18$, $P(\bar{R})=0.2$. נציב:

תשובה: 0.9

35 דירות הן 7% מכל הדירות במתחם. נסמן ב־$N$ את מספר הדירות:

מהטבלה: $P(P\cap R)=0.8-0.07=0.73$:

תשובה: 365 דירות.

נבנה עץ הסתברויות לשני הניסיונות של חנן:

החטאה בראשון וקליעה בשני:

תשובה: $\frac{7}{40}$

המאורע המשלים ל„קלע פעם אחת לפחות” הוא „החטיא בשני הניסיונות”:

תשובה: $\frac{31}{40}$

נסמן: $A$ – חנן קלע פעם אחת בדיוק, $B$ – חנן קלע פעם אחת לפחות.

„פעם אחת בדיוק” = קליעה ואז החטאה, או החטאה ואז קליעה:

המאורע $A$ מוכל במאורע $B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)$.

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

נציב:

תשובה: $\frac{15}{31}$

ההסתברות שחנן קלע פעם אחת בדיוק היא $\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$ (סעיף ב (2)).

אצל דני ההסתברות לקליעה בכל ניסיון היא $p$ ולהחטאה $1-p$. „פעם אחת בדיוק” – קליעה ואז החטאה או החטאה ואז קליעה:

נשווה:

שני הערכים בין 0 ל־1, ולכן שניהם מתאימים.

תשובה: $p=\frac{3}{4}$ או $p=\frac{1}{4}$

בקלמר 25 עפרונות, מהם 6 צהובים. אם העיפרון הראשון צהוב, דנה לא מחזירה אותו, ולכן לפני ההוצאה השנייה נשארים 24 עפרונות, מהם 5 צהובים:

תשובה: $0.05$

„אותו הצבע” – שני כחולים, או שני אדומים, או שני צהובים.

עיפרון כחול או אדום מוחזר לקלמר, ולכן בהוצאה השנייה ההסתברויות לא משתנות:

שני צהובים – מסעיף א: $0.05$.

תשובה: $0.4356$

נסמן: $A$ – דנה הוציאה שני אדומים או שני צהובים, $B$ – שני העפרונות באותו הצבע.

המאורע $A$ מוכל במאורע $B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)=0.0256+0.05=0.0756$.

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

נציב:

תשובה: $\frac{21}{121}\approx 0.1736$

אחרי שדנה נתנה לאחיה $x$ כחולים, 3 אדומים ו־2 צהובים, נשארו בקלמר:

כחולים: $15-x$, אדומים: $4-3=1$, צהובים: $6-2=4$. סך הכול $25-x-5=20-x$ עפרונות.

ההוצאה ללא החזרה. ההסתברות לצהוב ואחריו אדום:

$x=35$ נפסל, כי בקלמר יש רק 15 עפרונות כחולים. לכן $x=4$.

בדיקה: נשארו 16 עפרונות, $\frac{4}{16}\cdot \frac{1}{15}=\frac{4}{240}=\frac{1}{60}$ ✓

תשובה: $x=4$

נסמן: $A$ – הסטודנט סיים את הבגרות בהצטיינות, $B$ – הסטודנט הגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה.

נתון: $P(A)=0.2$, ולכן $P(\bar{A})=0.8$; $P(B/A)=0.8$; $P(B/\bar{A})=0.25$.

נשלים טבלה דו־ממדית:

תשובה: $0.36$

המאורעות כמו בסעיף א: $A$ – הסטודנט סיים את הבגרות בהצטיינות ($\bar{A}$ – בציונים רגילים), $B$ – הסטודנט הגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה.

ידוע שהסטודנט הגיע להישגים גבוהים, ושואלים מה ההסתברות שסיים בציונים רגילים, כלומר $P(\bar{A}/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה בסעיף א: $P(\bar{A}\cap B)=0.2$, $P(B)=0.36$. נציב:

תשובה: $\frac{5}{9}\approx 0.556$

המאורעות כמו בסעיף א: $A$ – הסטודנט סיים את הבגרות בהצטיינות, $B$ – הסטודנט הגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה.

צריך לבדוק את ההסתברות שסטודנט סיים בהצטיינות, בהינתן שהגיע להישגים גבוהים, כלומר $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(A\cap B)=0.16$, $P(B)=0.36$. נציב:

$\frac{4}{9}<0.5$: פחות מחצי מהסטודנטים שהגיעו להישגים גבוהים סיימו בהצטיינות.

תשובה: הטענה אינה נכונה ($\frac{4}{9}<50\%$).

המאורעות כמו בסעיף א: $\bar{A}$ – הסטודנט סיים את הבגרות בציונים רגילים, $\bar{B}$ – הסטודנט לא הגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה.

צריך לבדוק את ההסתברות שסטודנט סיים בציונים רגילים, בהינתן שלא הגיע להישגים גבוהים, כלומר $P(\bar{A}/\bar{B})$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(\bar{A}\cap \bar{B})=0.6$, $P(\bar{B})=0.64$. נציב:

$0.9375>0.5$: רוב הסטודנטים שלא הגיעו להישגים גבוהים סיימו בציונים רגילים.

תשובה: הטענה נכונה ($\frac{15}{16}>50\%$).

כל אחת מהן סיימה בציונים רגילים, ולכן ההסתברות שכל אחת מהן תגיע להישגים גבוהים היא $P(B/\bar{A})=0.25$, והסתברות שלא – $0.75$.

„בדיוק אחת” – רות כן ועינבל לא, או רות לא ועינבל כן:

תשובה: $0.375$

„שני מטבעות זהים” – שניהם של 2 ש״ח, או שניהם של 5 ש״ח, או שניהם של 10 ש״ח. ההוצאה ללא החזרה, ולכן בהוצאה השנייה יש 35 מטבעות ואחד פחות מהסוג שכבר יצא:

תשובה: $\frac{13}{35}\approx 0.371$

נסמן: $A$ – סכום שני המטבעות גבוה מ־5 ש״ח, $B$ – שני המטבעות זהים.

אם המטבעות זהים, הסכום הוא $2+2=4$, $5+5=10$ או $10+10=20$. הסכום גבוה מ־5 רק כששניהם של 5 ש״ח או שניהם של 10 ש״ח:

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מסעיף א: $P(B)=\frac{468}{1260}$. נציב:

תשובה: $\frac{9}{26}\approx 0.346$

אחרי ההוספה יש בקופה $36+x$ מטבעות, ומספר המטבעות של 5 ש״ח לא השתנה (12). ההסתברות להוציא שני מטבעות של 5 ש״ח:

$x$ הוא מספר מטבעות, ולכן $x=9$.

תשובה: $x=9$

אחרי ההוספה יש בקופה 45 מטבעות: 18 של 2 ש״ח, 12 של 5 ש״ח ו־15 של 10 ש״ח.

לפני ההוספה ההסתברות הייתה $\frac{13}{35}\approx 0.371$ (סעיף א), ולכן היא קטנה.

תשובה: קטנה (מ־$\frac{13}{35}\approx 0.371$ ל־$\frac{18}{55}\approx 0.327$).

עם החזרה ההסתברות להוציא כדור ירוק זהה בכל הוצאה: $\frac{12}{x}$.

(בסל 12 כדורים ירוקים ו־8 אדומים.)

תשובה: $x=20$

נסמן G – ירוק, R – אדום. המשלים של „לפחות כדור ירוק אחד” הוא „שני כדורים אדומים”. אם הראשון אדום הוא מוחזר, ולכן:

תשובה: $0.84$

נסמן: $A$ – שירה הוציאה שני כדורים בצבעים שונים, $B$ – שירה הוציאה לפחות כדור ירוק אחד. ידוע ש־$B$ התרחש, ולכן המבוקש הוא $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

בשני כדורים בצבעים שונים יש בהכרח כדור ירוק אחד, כלומר $A$ מוכל ב־$B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)$.

שני כדורים בצבעים שונים – RG או GR:

• RG: הראשון אדום ומוחזר, ולכן $P(RG)=\frac{8}{20}\cdot \frac{12}{20}=0.24$.
• GR: הראשון ירוק ונשאר בחוץ, נשארו 19 כדורים ובהם 8 אדומים: $P(GR)=\frac{12}{20}\cdot \frac{8}{19}=\frac{24}{95}$.

מסעיף ב: $P(B)=0.84$. נציב:

תשובה: $\frac{78}{133}\approx 0.586$

ארבעת הכדורים באותו צבע: שני הכדורים מהסל הראשון ושני הכדורים מהסל השני כולם ירוקים, או כולם אדומים.

מהסל הראשון (לפי השיטה של שירה):

מהסל השני (עם החזרה): $P(GG)=0.6^2=0.36$, $P(RR)=0.4^2=0.16$.

תשובה: $\approx 0.151$

כדי להתקבל, המועמד צריך לעבור את שלושת השלבים, זה אחר זה:

תשובה: $0.15$

„לכל היותר אחת התקבלה” הוא המשלים של „שתיהן התקבלו”. המיונים של נטע ושל גלי בלתי תלויים:

תשובה: $0.9775$

נסמן: $A$ – עדי עברה את הריאיון האישי, $B$ – עדי לא התקבלה. נעזר בעץ:

• עברה את הריאיון: $P(A)=0.75\cdot 0.5=0.375$.
• עברה את הריאיון ולא התקבלה (נכשלה בסדנה): $P(A\cap B)=0.375\cdot 0.6=0.225$.
• לא התקבלה: $P(B)=1-0.15=0.85$.

המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

נציב:

תשובה: $\frac{9}{34}\approx 0.265$

85% מהמועמדים לא התקבלו, והם 170 מועמדים:

תשובה: 30 מועמדים.

בסקר השתתפו $800+1200=2000$ בני נוער. נסמן: $A$ – „נבחר בן”, $L$ – „המשתתף הקדיש זמן ללימודים”.

75% מהבנים הקדישו זמן ללימודים, כלומר $P(L/A)=0.75$, ו־80% מהבנות: $P(L/\bar{A})=0.8$. אפשר לסדר את הנתונים בטבלה (במספרי משתתפים):

ההסתברות שנבחר בן שהקדיש זמן ללימודים:

(בדיקה בטבלה: $\frac{600}{2000}=0.3$.)

תשובה: $0.3$

לא הקדישו זמן ללימודים: 25% מהבנים ו־20% מהבנות.

(בטבלה: $\frac{200+240}{2000}=\frac{440}{2000}=0.22$.)

תשובה: $0.22$

המאורעות כמו בסעיף א: $A$ – „נבחר בן”, $\bar{L}$ – „המשתתף לא הקדיש זמן ללימודים”.

ידוע שהמשתתף לא הקדיש זמן ללימודים, ולכן המבוקש הוא $P(A/\bar{L})$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מסעיף ב: $P(A\cap \bar{L})=0.1$, $P(\bar{L})=0.22$. נציב:

(בדיקה בטבלה: מתוך 440 שלא הקדישו זמן, 200 בנים: $\frac{200}{440}=\frac{5}{11}$.)

תשובה: $\frac{5}{11}\approx 0.455$

המאורעות כמו בסעיף א: $\bar{A}$ – „נבחרה בת”, $\bar{L}$ – „המשתתף לא הקדיש זמן ללימודים”.

הכתבה מדברת על החלק של הבנים מקרב מי שלא הקדישו זמן ללימודים, כלומר על הסתברות מותנית. את $P(A/\bar{L})=\frac{5}{11}$ מצאנו בסעיף ג. נחשב גם את החלק של הבנות, $P(\bar{A}/\bar{L})$, לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מסעיף ב: $P(\bar{A}\cap \bar{L})=0.6\cdot 0.2=0.12$, $P(\bar{L})=0.22$. נציב:

(אפשר גם במאורע המשלים: $1-\frac{5}{11}=\frac{6}{11}$; בטבלה: $\frac{240}{440}=\frac{6}{11}$.)

$\frac{5}{11}<\frac{6}{11}$, כלומר מבין מי שלא הקדישו זמן ללימודים יש יותר בנות מבנים (כ־45.5% בנים לעומת כ־54.5% בנות). לכן האמירה בכתבה אינה נכונה.

שימו לב: נכון ש־25% מהבנים לא הקדישו זמן ללימודים לעומת 20% מהבנות – אבל הכתבה מדברת על אחוז הבנים מקרב בני הנוער שלא הקדישו זמן, וזה $\frac{5}{11}$ בלבד.

תשובה: לא נכונה: מבין מי שלא הקדישו זמן, $\frac{5}{11}$ בנים לעומת $\frac{6}{11}$ בנות.

נסמן: $A$ – „נבחר בן”, $\bar{A}$ – „נבחרה בת”, $B$ – „המשתתף בחוג כדורגל”, $\bar{B}$ – „המשתתף בחוג טניס” (כל משתתף בחוג אחד בלבד).

מספר הבנים שווה למספר הבנות, ולכן $P(A)=P(\bar{A})=0.5$.

80% מהבנים בכדורגל: $P(B/A)=0.8$, ולכן:

מספר הבנות בטניס גדול פי 3 ממספר הבנות בכדורגל. נסמן $P(\bar{A}\cap B)=p$, אז $P(\bar{A}\cap \bar{B})=3p$:

ההסתברות שנבחר בן המשתתף בחוג כדורגל: $P(A\cap B)=0.4$.

תשובה: $0.4$

המאורעות כמו בסעיף א: $A$ – „נבחר בן”, $\bar{B}$ – „המשתתף בחוג טניס”.

ידוע שנבחר משתתף בחוג טניס, ולכן המבוקש הוא ההסתברות המותנית $P(A/\bar{B})$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מהטבלה: $P(A\cap \bar{B})=0.1$, $P(\bar{B})=0.1+0.375=0.475$. נציב:

תשובה: $\frac{4}{19}\approx 0.211$

מספר המשתתפים בחוג טניס הוא $P(\bar{B})$ כפול מספר המשתתפים בשני החוגים:

תשובה: 95 משתתפים

בוחרים שניים בלי החזרה: בבחירה הראשונה 95 משתתפי טניס מתוך 200, ובשנייה נשארו 94 מתוך 199:

תשובה: $\approx 0.224$