בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳

בביטוי $\frac{x^2-9}{x^2+1}$ החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה ($x^2$), והמקדמים שלה הם 1 ו־1. לכן כאשר $x\to \pm \infty$ השבר שואף ל־$\frac{1}{1}=1$, והפונקציה שואפת ל־$1+1=2$.

(אפשר גם לכנס למכנה משותף: $f(x)=\frac{x^2-9+x^2+1}{x^2+1}=\frac{2x^2-8}{x^2+1}$, והיחס בין המקדמים הוא $\frac{2}{1}=2$.)

תשובה: $y=2$

נגזור לפי כלל הנגזרת של מנה (הנגזרת של הקבוע 1 היא 0):

נשווה את הנגזרת לאפס:

המכנה $(x^2+1{)}^2$ תמיד חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $20x$:

תשובה: $(0,-8)$ – נקודת מינימום.

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב (1):

עלייה: $x>0$. ירידה: $x<0$.

תשובה: עלייה: $x>0$, ירידה: $x<0$.

נציב $f(x)=0$:

לכן $x=2$ או $x=-2$.

תשובה: $(2,0)$, $(-2,0)$

נסמן את האסימפטוטה $y=2$, את נקודת המינימום $(0,-8)$ ואת נקודות החיתוך $(\pm 2,0)$. הפונקציה יורדת עד $x=0$ ועולה אחריו, ומתקרבת ל־$y=2$ מלמטה משני הצדדים.

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

לפי סעיף ב: $f^{\prime }(x)<0$ בעבור $x<0$, $f^{\prime }(0)=0$, ו־$f^{\prime }(x)>0$ בעבור $x>0$. כלומר גרף הנגזרת נמצא מתחת לציר ה־$x$ משמאל לראשית, עובר דרך הראשית, ונמצא מעל ציר ה־$x$ מימין לראשית.

גרף II הפוך בסימנים (חיובי משמאל ושלילי מימין). בגרפים III ו־IV הגרף אינו עובר דרך הראשית (מתאפס במקום אחר). לכן רק גרף I מתאים.

תשובה: גרף I

בתחום $-2\le x\le 0$ הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובתחום $0\le x\le 2$ היא חיובית. פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, ולכן:

תשובה: $S=16$

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\le 15$

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($f(x)=0$): מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.

$3x-9=0\Rightarrow x=3$, או $\sqrt{15-x}=0\Rightarrow x=15$. שני הערכים בתחום ההגדרה.

תשובה: $(0,-9\sqrt{15})$, $(3,0)$, $(15,0)$

נגזור לפי כלל הנגזרת של מכפלה:

(הנגזרת מוגדרת בעבור $x<15$.) נשווה לאפס:

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ נקבע לפי $99-9x$:

הנקודה $(11,48)$ היא מקסימום. הפונקציה יורדת עד קצה תחום ההגדרה $x=15$, ולכן $(15,0)$ היא נקודת מינימום (קיצון בקצה התחום).

תשובה: מקסימום $(11,48)$, מינימום (קצה) $(15,0)$

נסמן את נקודות החיתוך ואת נקודות הקיצון. הפונקציה עולה עד $x=11$ ויורדת עד $x=15$, שם הגרף נגמר.

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

הגרף של $g(x)=f(x+6)$ הוא הגרף של $f(x)$ מוזז 6 יחידות שמאלה. לכן:

• נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$ זזות ל־$x=3-6=-3$ ו־$x=15-6=9$ (הגרף נגמר ב־$x=9$).

• החיתוך עם ציר ה־$y$: $g(0)=f(6)=(18-9)\cdot \sqrt{9}=27>0$.

גרף שנגמר מימין, שעובר את ציר ה־$x$ משמאל לציר ה־$y$ וחותך את ציר ה־$y$ מעל ציר ה־$x$, עם מקסימום מימין לציר ה־$y$ – זה גרף III. (בגרף I החיתוך עם ציר ה־$y$ שלילי, כמו ב־$f(x)$ עצמה; גרפים II ו־IV הם בעלי מינימום ולא מקסימום.)

תשובה: גרף III

ההזזה שמאלה ב־6 לא משנה את ערכי ה־$y$, רק מזיזה את ערכי ה־$x$ ב־6. המקסימום של $f(x)$ ב־$(11,48)$ עובר ל־$(11-6,48)$:

בדיקה: $g(5)=f(11)=48$.

תשובה: $(5,48)$ – מקסימום