התפלגות נורמלית

נסמן ב־$X$ את מספר הצעדים היומי. נתון $S=800$ ו־$P(X<6944)=0.375$.

בטבלת ההתפלגות הנורמלית נחפש את הערך $0.3750$: הוא מתקבל בעבור $Z=-0.32$, כלומר $\Phi (-0.32)=0.375$.

ציון התקן של 6,944 הוא $-0.32$ (שלילי, כי פחות מחצי מהמשתתפים הולכים פחות מזה):

תשובה: הממוצע הוא 7,200 צעדים ביום.

נחשב את ציון התקן של 8,400:

מהטבלה: $\Phi (1.5)=0.933$. האחוז שהולכים יותר מ־8,400 צעדים:

תשובה: 6.7% מהמשתתפים.

7,200 הוא הממוצע ($Z=0$) ו־8,400 מתאים ל־$Z=1.5$ (סעיף ב).

כלומר 43.3% מהמשתתפים הם 14,722 אנשים. נסמן ב־$N$ את מספר המשתתפים:

תשובה: 34,000 משתתפים.

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית:

לפי הנתון, זה גם ציון התקן של שעות השינה שלה. נסמן ב־$S$ את סטיית התקן של שעות השינה:

תשובה: סטיית התקן היא 1.5 שעות.

נסמן ב־$X$ את אורך הגבעול. נתון: $\bar{x}=64$, ו־$P(X<55)=0.326$.

נחפש בטבלת ההתפלגות הנורמלית את הציון התקני $Z$ שעבורו $\Phi (Z)=0.326$. מכיוון שהשטח קטן מ־$0.5$, הציון שלילי. בטבלה: $\Phi (-0.45)=0.326$.

נציב בנוסחת הציון התקני:

תשובה: סטיית התקן היא 20 ס״מ.

הציון התקני של 80 ס״מ:

מהטבלה $\Phi (0.8)=0.788$, ולכן:

תשובה: כ־21.2% מהצמחים נשלחו לייצוא.

9,540 צמחים הם $21.2\%$ מכלל הצמחים במשתלה, ולכן מספר הצמחים הכולל:

צמחים שלא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות הם צמחים שאורך הגבעול שלהם בין 55 ל־80 ס״מ:

תשובה: 20,790 צמחים.

בשנה זו $\frac{4000}{40000}=0.1$, כלומר $10\%$ מהצמחים נמכרו לחנויות: $P(X<55)=0.1$.

בטבלה: $\Phi (-1.28)=0.1$, כלומר $Z=-1.28$.

תשובה: האורך הממוצע הוא 87 ס״מ.

ציון התקן של לימור הוא 1.6:

תשובה: $S=85$

57.9% מהנבחנים קיבלו פחות מיעל, כלומר $\Phi (Z)=0.579$. בטבלה: $\Phi (0.2)=0.579$, ולכן ציון התקן של יעל הוא $Z=0.2$:

$567<584$ – הציון של יעל נמוך מציון הסף של החוג לספרות.

תשובה: לא – הציון שלה 567, נמוך מ־584.

ציון התקן של ציון הסף לפסיכולוגיה:

תשובה: 8.1%

ציון התקן של ציון הסף לספרות: $Z=\frac{584-550}{85}=\frac{34}{85}=0.4$.

יכולים להתקבל לספרות אך לא לפסיכולוגיה – ציון בין 584 ל־669:

תשובה: 26.4%

26.4% מהנבחנים הם 8,448 נבחנים. מספר הנבחנים הכולל:

מספר הנבחנים שיכולים להתקבל לפסיכולוגיה (8.1%):

תשובה: 2,592 נבחנים.

$P(X<94)=0.933$. בטבלה: $\Phi (1.5)=0.933$, ולכן ציון התקן של 94 הוא $Z=1.5$:

תשובה: $\bar{x}=82$

44% בעלי הציונים הגבוהים התקבלו, כלומר הציון המינימלי לקבלה $c$ מקיים $P(X>c)=0.44$, ולכן $\Phi (Z_c)=1-0.44=0.56$. בטבלה: $\Phi (0.15)=0.56$:

$84>83.2$, ולכן נבחן שקיבל 84 התקבל לאוניברסיטה.

(דרך נוספת: ציון התקן של 84 הוא $\frac{84-82}{8}=0.25>0.15$.)

תשובה: כן – ציון הסף לקבלה הוא 83.2.

התקבלו ואינם מצטיינים – ציון בין 83.2 ל־92. ציון התקן של 92:

תשובה: 33.4%

33.4% מהנבחנים הם 2,171 נבחנים:

תשובה: 6,500 נבחנים.

ציון התקן של נדב במבחן הראשון:

זה גם ציון התקן שלו במבחן הנוסף (ממוצע 80):

תשובה: $S=6$

נסמן ב־$X$ את מרחק הקפיצה (במטרים). נתון $\bar{x}=4.6$ ו־$P(X<4.8)=0.692$.

בטבלת ההתפלגות הנורמלית נחפש את הערך $0.692$: הוא מתקבל בעבור $Z=0.5$, כלומר $\Phi (0.5)=0.692$.

לכן ציון התקן של 4.8 הוא $0.5$:

תשובה: סטיית התקן היא 0.4 מטר.

נחשב את ציון התקן של 5.24:

מהטבלה: $\Phi (1.6)=0.945$. האחוז שקפצו יותר מ־5.24 מטר:

תשובה: 5.5% מהמשתתפים קיבלו מדליה.

לפי סעיף ב, 5.5% מהמשתתפים קיבלו מדליה, ונתון שאלה 11 משתתפים. נסמן ב־$N$ את מספר המשתתפים:

תשובה: בתחרות השתתפו 200 משתתפים.

כדי להשוות בין שני ענפים שונים נשווה את ציוני התקן.

קפיצה לרוחק ($\bar{x}=4.6,S=0.4$):

קפיצה לגובה ($\bar{x}=1.5,S=0.2$):

ציון התקן בקפיצה לגובה גדול יותר ($1.25>1$), ולכן ההישג היחסי בקפיצה לגובה טוב יותר.

תשובה: בקפיצה לגובה (ציון תקן 1.25 לעומת 1).

נסמן ב־$X$ את אורך החיים (בחודשים). בגרף, השטח משמאל ל־18 שווה לשטח מימין ל־24 (22.7% בכל צד). ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן הממוצע נמצא באמצע בין 18 ל־24:

נתון $P(X<18)=0.227$. בטבלה: $\Phi (-0.75)=0.227$, ולכן ציון התקן של 18 הוא $-0.75$:

תשובה: $\bar{x}=21$ חודשים, $S=4$ חודשים.

נסמן ב־$a$ את אורך החיים הגדול ביותר של טלפון פגום. 3.5% מהטלפונים נמצאים משמאל ל־$a$:

בטבלה: $\Phi (-1.81)=0.035$, ולכן ציון התקן של $a$ הוא $-1.81$:

תשובה: 13.76 חודשים.

מהטבלה: $\Phi (1.25)=0.894$.

מספר הטלפונים מתוך 2,000:

תשובה: 212 טלפונים.

כאשר כל הערכים מוכפלים ב־1.5, גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים ב־1.5:

תשובה: ממוצע 31.5 חודשים, סטיית תקן 6 חודשים.

לאחר ההגדלה:

מהטבלה:

תשובה: 1.22% מהטלפונים.

נסמן ב־$X$ את אורך הגבעול (בס"מ). נתון $\bar{x}=20$ ו־$P(X<22)=0.655$ (קבוצה א').

בטבלה: $\Phi (0.4)=0.655$, ולכן ציון התקן של 22 הוא $0.4$:

תשובה: $S=5$ ס"מ

קבוצה ג' – הפרחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־26 ס"מ:

מהטבלה $\Phi (1.2)=0.885$:

תשובה: 11.5%

שיעור הפרחים בקבוצה ב' (בין 22 ל־26 ס"מ):

מספר הפרחים בקבוצה ב' מתוך 2,000:

בכל זר 10 פרחים:

תשובה: 46 זרים.

נסמן ב־$Y$ את אורך הגבעול במשתלה האחרת, וב־$\bar{y}$ את הממוצע שלה. סטיית התקן זהה: $S=5$.

אחוז הפרחים הארוכים מ־24 ס"מ שווה לאחוז הפרחים בקבוצה ב' (סעיף ג):

בטבלה: $\Phi (0.74)=0.77$, ולכן:

תשובה: 20.3 ס"מ

נסמן ב־$X$ את אורך המלפפון (בס"מ). $\bar{x}=10.56$, $S=3$.

מהטבלה:

תשובה: 68.4%

המלפפונים הקצרים במיוחד הם רבע מהמלפפונים שאורכם קטן מ־12 ס"מ:

תשובה: 17.1%

נסמן ב־$a$ את אורכו של המלפפון הארוך ביותר מבין הקצרים במיוחד. אלה הם 17.1% השמאליים בהתפלגות:

בטבלה: $\Phi (-0.95)=0.171$, ולכן:

תשובה: 7.71 ס"מ

50% מהמלפפונים קצרים מ־11.5 ס"מ. בהתפלגות נורמלית חצי מהערכים קטנים מהממוצע, ולכן הממוצע במשלוח החדש הוא $\bar{x}=11.5$.

12.5% ארוכים מ־14.26 ס"מ, ולכן $P(X<14.26)=1-0.125=0.875$. בטבלה: $\Phi (1.15)=0.875$:

תשובה: $S=2.4$ ס"מ

נסמן ב־$X$ את משקל התינוק ביום הלידה (בק״ג). נתון $\bar{x}=3.4$ ו־$P(X<5.02)=0.9641$.

בטבלת ההתפלגות הנורמלית: $\Phi (1.8)=0.9641$, ולכן ציון התקן של 5.02 הוא $Z=1.8$.

תשובה: $S=0.9$ ק״ג.

משקלו של אורי נמוך ממשקלם של 9% מהתינוקות, כלומר 9% מהתינוקות כבדים ממנו, ולכן $100\%-9\%=91\%$ מהתינוקות נולדו במשקל נמוך משלו:

(בטבלה $\Phi (1.34)=0.9100$.) נציב בנוסחת ציון התקן:

תשובה: 4.606 ק״ג.

ציון התקן של 1.5 ק״ג:

מהטבלה:

תשובה: 1.74% מהתינוקות.

לפי סעיף ג (1), $0.0174$ מהתינוקות נולדים במשקל נמוך מאוד:

תשובה: 348 תינוקות.

ציון התקן של משקל הלידה של אורי הוא $Z=1.34$ (סעיף ב), ולפי הנתון זה גם ציון התקן של שחר. משקלו של שחר הוא $4.606$ ק״ג, וסטיית התקן בעיר שלו $S=0.8$. נסמן ב־$\bar{x}$ את הממוצע בעיר של שחר:

תשובה: 3.534 ק״ג.

נסמן ב־$X$ את קצב התארכות השיער (בס״מ לשנה). לפי נתון i, ל־50% מהנבדקים השיער התארך בפחות מ־12 ס״מ.

בהתפלגות נורמלית הממוצע מחלק את הנבדקים לשני חצאים שווים: $P(X<\bar{x})=\Phi (0)=0.5$. לכן הממוצע הוא 12.

תשובה: $\bar{x}=12$ ס״מ בשנה.

לפי נתון ii, ל־33% מהנבדקים השיער התארך ביותר מ־12.56 ס״מ, ולכן ל־$100\%-33\%=67\%$ – בפחות מ־12.56:

(בטבלה $\Phi (0.44)=0.6700$.) נציב בנוסחת ציון התקן:

שימו לב: בפתרון של „מלומד” מופיע $S=1.3$ (עיגול). לפי טבלת הנוסחאון $\Phi (0.44)=0.67$ בדיוק, ולכן $S=\frac{0.56}{0.44}\approx 1.27$ (ובעיגול לספרה אחת אחרי הנקודה – $1.3$).

תשובה: $S\approx 1.27$ ס״מ בשנה.

השמפו מגביר את קצב ההתארכות ב־10%, כלומר כל ערך מוכפל ב־$1.1$. כשמכפילים את כל הערכים במספר חיובי, גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים באותו מספר:

שימו לב: מי שעיגל בסעיף ב ל־$S=1.3$ יקבל $S_{new}=1.1\cdot 1.3=1.43$ (כך בפתרון של „מלומד”).

תשובה: ממוצע 13.2 ס״מ, סטיית תקן 1.4 ס״מ (בערך).

„בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע” פירושו ציוני תקן בין $Z=0$ ל־$Z=1$, ולכן לפני השמפו האחוז הוא:

אחרי השמפו כל ערך מוכפל ב־$1.1$, וגם הממוצע וסטיית התקן מוכפלים ב־$1.1$. לכן ציון התקן של כל נבדק לא משתנה:

הנבדקים שהיו בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו נשארים בדיוק שם, והאחוז נשאר $34.1\%$.

תשובה: האחוז לא ישתנה (נשאר 34.1%), כי ציוני התקן לא משתנים.

נסמן ב־$X$ את זמן השחייה (בשניות). בקבוצה: $\bar{x}=57$, $S=2$. „לשבור את השיא” פירושו לשחות בזמן קצר מ־51 שניות.

תשובה: $0.0013$

הממוצע המשוקלל של שתי הקבוצות:

(מספר השחיינים בשתי הקבוצות שווה, ולכן הממוצע הכולל הוא פשוט $\frac{57+58}{2}=57.5$.)

תשובה: 57.5 שניות.

50 מתוך 300 השחיינים שוחים בפחות מ־54 שניות:

בטבלה הערך הקרוב ביותר ל־$0.1667$ הוא $\Phi (-0.97)=0.166$, ולכן $Z=-0.97$:

שימו לב: בפתרון של יואל גבע מתקבל $Z=-0.965$ (אינטרפולציה בין ערכי הטבלה) ולכן $S\approx 3.627$. בעבודה עם הערך הקרוב ביותר בטבלת הנוסחאון מקבלים $S\approx 3.61$; שני הערכים מתקבלים.

תשובה: $S\approx 3.61$ שניות.

לכל 300 השחיינים: $\bar{x}=57.5$, $S\approx 3.61$ (סעיף ג). ציון התקן של 51:

(ההסתברות גדולה יותר מבסעיף א, כי פיזור הזמנים גדול יותר.)

שימו לב: עם $S\approx 3.627$ (כמו בפתרון של יואל גבע) מתקבל $Z\approx -1.792$ והסתברות של כ־$0.0367$.

תשובה: $\approx 0.0359$

בהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן החציון שווה לממוצע: חצי מהעצים מניבים פחות מ־40 ק״ג וחצי – יותר.

תשובה: 40 ק״ג.

נסמן ב־$X$ את משקל הדובדבנים שמניב עץ. נתון $P(X<30)=0.181$.

בטבלה: $\Phi (-0.91)=0.181$, ולכן ציון התקן של 30 הוא $Z=-0.91$ (שלילי, כי 30 קטן מהממוצע):

תשובה: $S\approx 10.99$ ק״ג.

ציון התקן של 55:

שימו לב: במפתח של משרד החינוך מופיע $25.8\approx 26$ – שם $Z\approx 1.365$ ונלקח ערך ביניים בטבלה ($0.914$). התשובה המעוגלת זהה: כ־26 עצים.

תשובה: בערך 26 עצים.

הממוצע ירד ב־20%: $\bar{x}=40\cdot 0.8=32$ ק״ג, וסטיית התקן נשארה $S\approx 10.99$.

תשובה: בערך 5 עצים.

נסמן ב־$X$ את זמן ההאזנה ביום (בדקות): $\mu =35.65$, $\sigma =15$. ציון התקן של 10:

תשובה: 4.36%

תשובה: כ־5,300 אנשים.

אחוז המאזינים פחות מ־10 דקות לא השתנה, ולכן גם ציון התקן של 10 לא השתנה: $Z=-1.71$. הממוצע החדש 42:

תשובה: $\sigma \approx 18.71$ דקות

אחרי השינוי:

מספר האנשים: $0.168\cdot 100,000=16,800$, לעומת 5,300 לפני השינוי:

תשובה: פי 3.17 בערך.

בהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן החציון (והשכיח) שווים לממוצע.

תשובה: 1.8 דקות

$P(X>2)=0.308$, ולכן $P(X<2)=1-0.308=0.692$. בטבלה: $\Phi (0.5)=0.692$, כלומר ציון התקן של 2 הוא $Z=0.5$:

תשובה: $S=0.4$ דקות

ציון התקן של דקה אחת:

תשובה: 2.27%

בין הממוצע ($Z=0$) לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע ($Z=1$, כלומר $1.8+0.4=2.2$ דקות):

תשובה: 34.1%

לא השתנה. השטח בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע הוא תמיד השטח בין $Z=0$ ל־$Z=1$ בהתפלגות נורמלית, בלי קשר לערכי הממוצע וסטיית התקן:

(אחרי השינוי זה הטווח בין 1.2 ל־1.6 דקות, וגם בו נמצאים 34.1% מהאנשים.)

תשובה: לא השתנה – גם אחרי השינוי 34.1%.

ציון התקן של שירה במתכונת הראשונה:

תשובה: 62.9%

אחוז התלמידים שקיבלו פחות משירה זהה בשתי המתכונות, ולכן גם ציון התקן שלה זהה: $Z=0.33$.

תשובה: $\bar{x}=74.7$

בהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן החציון שווה לממוצע.

תשובה: 74.7

29.8% קיבלו ציון גבוה מאריאל, ולכן $1-0.298=0.702$ קיבלו ציון נמוך ממנו: $\Phi (Z)=0.702$. בטבלה: $\Phi (0.53)=0.702$, ולכן $Z=0.53$ (במתכונת הראשונה):

תשובה: 73

נשווה את ציוני התקן של אריאל (הציון 73) בשתי המתכונות:

במתכונת הראשונה הציון שלו מעל הממוצע ($Z>0$), ובשנייה מתחת לממוצע ($Z<0$). ציון התקן גבוה יותר במתכונת הראשונה, ולכן שם הצליח יותר יחסית לכל הנבחנים (במתכונת הראשונה 70.2% קיבלו פחות ממנו, ובשנייה רק $\Phi (-0.17)\approx 43\%$).

תשובה: במתכונת הראשונה ($Z=0.53$ לעומת $Z=-0.17$).