בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳

הנקודות $F$, $O$ ו־$E$ נמצאות על ציר ה־$x$, והנקודה $B$ על ציר ה־$y$, ולכן $\angle FOB=90^{\circ }$ (הזווית בין הצירים). לכן:

במשולש $OCF$: $\angle CFO=90^{\circ }$ ($CF$ אנך לציר ה־$x$), ולכן (סכום הזוויות במשולש $180^{\circ }$):

מכאן $\angle OCF=\angle COB$, ומהנתון $\angle AOE=\angle COB$ נקבל:

תשובה: הוכחה.

במשולשים $OCF$ ו־$AOE$:

1. $\angle OCF=\angle AOE$ (הוכח בסעיף א (1)).

2. $\angle CFO=\angle OEA=90^{\circ }$ ($CF$ ו־$AE$ אנכים לציר ה־$x$).

לכן $△OCF\sim △AOE$ (לפי משפט הדמיון ז.ז). ההתאמה: $C\leftrightarrow O$, $F\leftrightarrow E$, $O\leftrightarrow A$, כלומר:

תשובה: הוכחה.

היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון. נסמן את יחס הדמיון ב־$k$:

תשובה: יחס הדמיון הוא 2 (המשולש OCF גדול פי 2).

הישר $AE$ הוא $x=4$, ולכן $E(4,0)$ ו־$OE=4$. הישר $CF$ הוא $x=-4$, ולכן $F(-4,0)$ ו־$OF=4$.

לפי יחס הדמיון (סעיף א (2)): $\frac{CF}{OE}=2$:

תשובה: $OE=4$, $CF=8$

$C$ נמצאת על הישר $x=-4$, מעל ציר ה־$x$ במרחק $CF=8$, ולכן $C(-4,8)$.

לפי יחס הדמיון $\frac{FO}{EA}=2$:

$A$ נמצאת על הישר $x=4$, מעל ציר ה־$x$, ולכן $A(4,2)$.

תשובה: $A(4,2)$, $C(-4,8)$

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן לאלכסונים $OB$ ו־$AC$ יש אותו אמצע.

אמצע $AC$:

$M$ הוא גם אמצע $OB$, כאשר $O(0,0)$. נסמן $B(x_B,y_B)$:

(ואכן $B$ על ציר ה־$y$, כנתון.)

תשובה: $B(0,10)$

נחשב את שיפועי הצלעות $OA$ ו־$OC$:

לכן $OA\perp OC$, כלומר $\angle AOC=90^{\circ }$. מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן.

תשובה: הוכחה.

שטחי המשולשים ישרי הזווית:

שטח המשולש $ABM$: אורכי צלעות המלבן:

אלכסוני המלבן שווים וחוצים זה את זה, ולכן הם מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שטח (לכל שני משולשים סמוכים בסיסים שווים וגובה משותף). לכן:

קיבלנו $S_{AOE}+S_{CFO}=20=2\cdot S_{ABM}$.

תשובה: כן, נכון: $4+16=20=2\cdot 10$.

$M$ על ציר ה־$y$, ולכן $M(0,b)$. $MA$ ו־$MB$ רדיוסים, כלומר $MA=MB$, ולכן גם $M{A}^2=M{B}^2$:

לכן $M(0,3)$.

תשובה: $M(0,3)$ – הוכחה.

הרדיוס הוא המרחק מ־$M(0,3)$ ל־$A(-5,3)$:

תשובה: $x^2+(y-3{)}^2=25$

נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$: נציב $y=0$:

לפי הסרטוט $C$ מימין ו־$D$ משמאל.

תשובה: $C(4,0)$, $D(-4,0)$

תשובה: $AC=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\approx 9.49$

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R=5$. לפי משפט הסינוסים:

המשולש חד זוויות, ולכן הזווית חדה:

(אפשר גם במשפט הקוסינוסים, עם $AB=\sqrt{80}$, $BC=\sqrt{50}$.)

תשובה: $\angle ABC\approx 71.57^{\circ }$

הנקודות $A$, $E$, $C$, $B$ נמצאות על המעגל, ולכן המרובע $ABCE$ חסום במעגל. במרובע חסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא $180^{\circ }$:

תשובה: $\angle AEC\approx 108.43^{\circ }$

במשולש $AEC$ ידועים: $AC=\sqrt{90}$, $EC=7$, $\angle AEC\approx 108.43^{\circ }$. נסמן $AE=t$ ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

$\cos 108.43^{\circ }\approx -0.3162$, ולכן:

(הפתרון השלילי נפסל.) השטח:

תשובה: $S_{AEC}\approx 15.145$ יחידות שטח.