סטטיסטיקה ורגרסיה

בדיאגרמת הפיזור הנקודות יורדות משמאל לימין: ככל שגודל השטח הירוק גדל, רמת זיהום האוויר בדרך כלל קטנה. לכן הקשר שלילי, ו־$r<0$.

הנקודות אינן נמצאות כולן על קו ישר אחד (למשל בעבור $x=15$ יש שתי נקודות: $y=20$ ו־$y=30$), ולכן $r\ne -1$.

מכאן $-1<r<0$, כלומר היגד III נכון.

תשובה: היגד III נכון: $-1<r<0$.

מהדיאגרמה נקרא את ערכי $x$ של 6 הערים: $5,10,15,15,20,25$.

תשובה: $\bar{x}=15$ מ״ר לנפש.

ערכי $y$ (לפי אותן ערים): $50,40,30,20,30,10$.

תשובה: $\bar{y}=30$

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})=(15,30)$. נציב בישר $y=-1.8x+b$:

תשובה: $b=57$

משוואת ישר הרגרסיה: $y=-1.8x+57$. נציב $x=18$:

תשובה: הניבוי הוא 24.6

נחשב את ריבועי הסטיות מהממוצע $\bar{x}=15$:

תשובה: $S_x=\sqrt{\frac{125}{3}}\approx 6.45$ מ״ר לנפש.

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ הוא $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$, והשיפוע הנתון הוא $-1.8$:

תשובה: $r=-0.9$

כל ערכי $y$ גדלו ב־4. הוספת קבוע לכל הערכים מזיזה את הממוצע $\bar{y}$ ב־4, אבל לא משנה את סטיית התקן $S_y$ ולא את מקדם המתאם $r$ (המרחקים בין הנקודות לא השתנו – כל הדיאגרמה זזה 4 יחידות למעלה).

לכן השיפוע $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$ לא השתנה.

תשובה: לא – השיפוע לא השתנה.

אחרי התיקון: $\bar{x}=15$ (לא השתנה), $\bar{y}=30+4=34$, והשיפוע נשאר $-1.8$. נציב את נקודת הממוצעים:

(כל ישר הרגרסיה פשוט עלה ב־4: $57+4=61$.)

תשובה: $y=-1.8x+61$

תשובה: $\bar{x}=20$ אלף שקלים.

תשובה: $S_x=5\sqrt{2}\approx 7.07$ אלף שקלים.

נשתמש בנוסחת מקדם המתאם (סכום המכפלות מחושב בטבלה בסעיף א):

תשובה: $r\approx 0.873$

שיפוע ישר הרגרסיה:

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(20,31)$:

תשובה: $y=2.42x-17.4$

נציב $x=24$:

ההכנסות נמדדות באלפי שקלים, כלומר 40,680 שקלים.

תשובה: 40,680 שקלים (40.68 אלף).

כל ההכנסות גדלו ב־15%, כלומר כל ערך $y$ הוכפל ב־$1.15$.

I – לא נכון. כשכל הערכים מוכפלים ב־$1.15$, גם סטיית התקן מוכפלת ב־$1.15$:

II – לא נכון. מקדם המתאם $r$ לא משתנה: לפי הנוסחה $r=\frac{1}{N}(z_{x_1}{z}_{y_1}+\cdots +z_{x_N}{z}_{y_N})$, וכשכל ערכי $y$ מוכפלים ב־$1.15$ גם $y-\bar{y}$ וגם $S_y$ מוכפלים ב־$1.15$, כך שציוני התקן $z_y=\frac{y-\bar{y}}{S_y}$ אינם משתנים. בנוסף $S_x$ לא משתנה ו־$S_y$ גדל פי $1.15$, ולכן השיפוע $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$ גדל פי $1.15$ (מ־2.42 לכ־2.78).

III – נכון. ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים. בחודש שאחרי: $\bar{x}=20$ (לא השתנה) ו־$\bar{y}=1.15\cdot 31=35.65$, ולכן הנקודה $(20,35.65)$ נמצאת על הישר.

תשובה: I – לא נכון; II – לא נכון; III – נכון.

תשובה: $\bar{x}=25$ מעלות.

תשובה: $S_x=\sqrt{\frac{35}{3}}\approx 3.416$ מעלות.

לפי נוסחת מקדם המתאם (סכום המכפלות בטבלה בסעיף א):

תשובה: $r\approx 0.973$

שיפוע ישר הרגרסיה:

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(25,2.4)$:

תשובה: $y=0.163x-1.675$

כל ערכי $y$ הוכפלו פי 3.

I – הממוצע גדל: כשמכפילים כל ערך פי 3, גם הממוצע מוכפל פי 3: $\bar{y}=3\cdot 2.4=7.2$.

II – סטיית התקן גדלה: כל המרחקים מהממוצע מוכפלים פי 3, ולכן גם סטיית התקן מוכפלת פי 3: $S_y=3\cdot \frac{7\sqrt{6}}{30}=\frac{7\sqrt{6}}{10}\approx 1.71$.

תשובה: I – גדל; II – גדלה.

מקדם המתאם $r$ לא משתנה כשמכפילים את כל ערכי $y$ במספר חיובי (צורת הפיזור נשמרת), $S_x$ לא משתנה, ו־$S_y$ גדלה פי 3. לכן השיפוע $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$ גדל פי 3:

תשובה: השיפוע הוא $0.489$ (גדל פי 3).

תשובה: $\bar{x}=6$ ק״מ

תשובה: $S_x=\sqrt{\frac{59}{12}}\approx 2.22$ ✓

נסמן ב־$y$ את המהירות במסלול ד׳. הממוצע שווה ל־$y$:

תשובה: 10 קמ״ש

ככל שמרחק הריצה גדל, המהירות בדרך כלל קטנה – הקשר שלילי, ולכן $r<0$. נשארות האפשרויות $-1$ ו־$-0.86$.

$r=-1$ רק אם כל הנקודות נמצאות על ישר אחד. זה לא המצב: למשל, מ־$x=4.5$ ל־$x=6$ המהירות עלתה (מ־11 ל־11.5). לכן $r=-0.86$.

תשובה: $r=-0.86$

שיפוע ישר הרגרסיה:

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(6,10)$:

תשובה: $y=-0.68x+14.08$

תשובה: 11.36 קמ״ש

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})$, שנמצאת „במרכז” הנקודות. לכן הישר עובר בין הנקודות – חלקן מעליו וחלקן מתחתיו.

בדיאגרמה III הישר עובר מעל כל הנקודות ובדיאגרמה I מתחת לכל הנקודות – הם אינם ישר הרגרסיה. נשארת דיאגרמה II.

תשובה: דיאגרמה II.

תשובה: $\bar{x}=98$ מ"ר

נחשב את הסטיות מהממוצע $\bar{x}=98$ ואת ריבועיהן:

תשובה: $S_x\approx 13.387$ מ"ר

נחשב את הסטיות של $y$ מהממוצע $\bar{y}=2.7$ ואת מכפלות הסטיות:

תשובה: $r\approx 0.983$

משוואת ישר הרגרסיה:

השיפוע:

נציב את נקודת הממוצעים $(98,2.7)$:

שימו לב: עיגלנו את השיפוע ל־0.092 כמו במפתח של משרד החינוך. בלי עיגול השיפוע הוא כ־0.0917 והמשוואה $y\approx 0.0917x-6.29$; שתי התשובות נכונות.

תשובה: $y=0.092x-6.316$

נציב $x=100$ במשוואת ישר הרגרסיה:

תשובה: כ־2.884 מיליון שקל.

המחיר של כל דירה גדל באותו מספר (0.2 מיליון). הוספת אותו קבוע לכל הערכים מגדילה את הממוצע $\bar{y}$ ב־0.2, וגם כל ערך גדל ב־0.2, ולכן הסטיות מהממוצע $y-\bar{y}$ לא משתנות.

לכן סטיית התקן $S_y$ לא השתנתה.

תשובה: סטיית התקן של $y$ לא השתנתה.

הסטיות $x-\bar{x}$ ו־$y-\bar{y}$ לא השתנו, וגם $S_x$ ו־$S_y$ לא השתנו (סעיף ה (1)). לכן גם מקדם המתאם $r=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n\cdot S_x\cdot S_y}$ לא השתנה.

(כל הנקודות בדיאגרמת הפיזור זזו 0.2 יחידות למעלה, והצורה שלהן – ולכן גם עוצמת הקשר הליניארי – נשארה אותו דבר.)

תשובה: מקדם המתאם לא השתנה.

תשובה: $\bar{x}=12$ ימים, $S_x\approx 4.733$ ימים.

בדיאגרמת הפיזור, ככל שמספר ימי הגשם גדל, ההכנסה בדרך כלל גדלה – הקשר חיובי, ולכן $r\ne -0.959$.

הנקודות אינן נמצאות כולן על ישר אחד (למשל בעבור $x=10$ יש שתי הכנסות שונות: 72 ו־65), ולכן $r\ne 1$.

מכאן $r=0.959$.

תשובה: $r=0.959$

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$:

תשובה: השיפוע הוא כ־1.714

תשובה: $y=1.714x+50.432$

נציב $x=15$ במשוואת ישר הרגרסיה:

תשובה: כ־76.142 אלף שקלים.

בכל חודש ההכנסה של בית מרקחת ב' קטנה ב־20 אלף שקלים, ומספר ימי הגשם זהה. לכן:

• $\bar{x}$ ו־$S_x$ לא משתנים.

• $\bar{y}$ קטן ב־20: $\bar{y}=71-20=51$.

• $S_y$ ו־$r$ לא משתנים (הורדת אותו קבוע מכל הערכים לא משנה את הפיזור), ולכן גם השיפוע $1.714$ לא משתנה.

(כל ישר הרגרסיה פשוט יורד ב־20: $50.432-20=30.432$.)

תשובה: $y=1.714x+30.432$

טבלה 1: בכל שורה $y=2x$ – כל הנקודות נמצאות על ישר אחד עם שיפוע חיובי. לכן $r=1$ (היגד II).

טבלה 3: בכל שורה $y=51-x$ – כל הנקודות על ישר אחד עם שיפוע שלילי. לכן $r=-1$ (היגד III).

טבלה 2: ככל ש־$x$ גדל, $y$ בדרך כלל גדל (קשר חיובי), אבל לא תמיד (מ־$x=7$ ל־$x=8$, $y$ יורד מ־22 ל־17), ולכן הנקודות אינן על ישר אחד: $0<r<1$ (היגד I).

תשובה: I – טבלה 2, II – טבלה 1, III – טבלה 3

תשובה: בממוצע 6 פעמים בשבוע, 15.6 שעות בשבוע.

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})=(6,15.6)$. נציב ב־$y=2.7x+b$:

תשובה: $b=-0.6$

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ הוא $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$, והשיפוע הנתון הוא 2.7:

(הערך חיובי וקטן מ־1 – מתאים להיגד I מסעיף א.)

תשובה: $r\approx 0.783$

כל זוג הוא נקודה $(x,y)$: $(0,1500)$, $(1,1800)$, $(3,2900)$, $(4,3800)$.

תשובה: ראו דיאגרמה בפתרון המלא.

תשובה: $\bar{x}=2$ ילדים, $\bar{y}=2,500$ שקלים

תשובה: $r\approx 0.986$

שיפוע ישר הרגרסיה:

תשובה: $y=570x+1360$

כל הוצאה גדלה ב־6%, כלומר הוכפלה ב־1.06. כאשר כל הערכים מוכפלים בקבוע חיובי, גם הסטיות מהממוצע מוכפלות בו, ולכן סטיית התקן מוכפלת בו:

סטיית התקן גדלה.

תשובה: גדלה (פי 1.06).

הכפלת כל ערכי $y$ ב־1.06 מכפילה ב־1.06 גם את המונה $\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})$ וגם את $S_y$ במכנה, ולכן $r$ לא משתנה. (הנקודות בדיאגרמה רק „נמתחות” כלפי מעלה, וחוזק הקשר הליניארי נשאר זהה.)

תשובה: לא השתנה.

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})$. לכן נציב $x=\bar{x}=0.465$ במשוואת הישר:

תשובה: $\bar{y}\approx 21.55$ (אחוז).

השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי $y$ לפי $x$ הוא $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$ (מנוסחת הישר $y-\bar{y}=r\cdot \frac{S_y}{S_x}(x-\bar{x})$). השיפוע הנתון הוא $11.3$:

תשובה: $S_y\approx 8.86$

אין גידול באוכלוסייה, כלומר אחוז הגידול השנתי הוא $x=0$. נציב בישר הרגרסיה:

תשובה: 16.3% ילדים (לפי הניבוי).

אם נציב $x=2$ בישר הרגרסיה נקבל $y=11.3\cdot 2+16.3=38.9$.

אבל זהו רק ניבוי (הערכה). מקדם המתאם הוא $r=0.871$, כלומר הקשר חזק אך אינו מלא ($r\ne 1$) – הנקודות אינן נמצאות כולן על ישר הרגרסיה. לכן אי אפשר להסיק שאחוז הילדים הוא בדיוק 38.9; אפשר רק להעריך שהוא בסביבות 38.9.

תשובה: לא – זו הערכה בלבד, כי $r\ne 1$ (הקשר אינו מלא).

המשתנה $x$: ארבעה ערכים 9 וארבעה ערכים 11.

כל ערך רחוק מהממוצע ב־1 בדיוק, ולכן $(x-\bar{x}{)}^2=1$ לכל אחד מ־8 הדגמים:

המשתנה $y$: הערכים $2$, שישה ערכים $10$, ו־$18$.

תשובה: $\bar{x}=10,S_x=1,\bar{y}=10,S_y=4$

נחשב את המכפלות $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$:

תשובה: $r=\frac{1}{2}=0.5$

ישר הרגרסיה לניבוי $y$ לפי $x$:

תשובה: $y=2x-10$

נציב $x=10$ בישר הרגרסיה:

(זה צפוי: $x=10$ הוא הממוצע $\bar{x}$, וישר הרגרסיה עובר דרך $(\bar{x},\bar{y})=(10,10)$.)

תשובה: 10 דקות.

קיצור הזמן ב־20% פירושו שכל ערך של $y$ מוכפל ב־$0.8$. הכפלת כל ערכי משתנה במספר חיובי אינה משנה את עוצמת הקשר הלינארי ואת כיוונו – הנקודות רק „מתכווצות” בכיוון האנכי, והן עדיין מסודרות באותו אופן ביחס לקו ישר.

(בחישוב: גם $y-\bar{y}$ וגם $S_y$ מוכפלים ב־$0.8$, ובנוסחה של $r$ המספר $0.8$ מצטמצם.)

תשובה: לא ישתנה.

כשכל הערכים מוכפלים ב־$0.8$, כל הסטיות מהממוצע מוכפלות ב־$0.8$, ולכן גם סטיית התקן מוכפלת ב־$0.8$:

תשובה: תקטן (מ־4 ל־3.2).

השיפוע הוא $r\cdot \frac{S_y}{S_x}$. לפי סעיפים ה (1) ו־ה (2): $r$ לא משתנה, $S_x$ לא משתנה, ו־$S_y$ קטנה. לכן השיפוע קטן:

תשובה: יקטן (מ־2 ל־1.6).

נחשב את ריבועי הסטיות מהממוצע $\bar{x}=3.4$ (עם השכיחויות מהטבלה):

תשובה: $S_x=1.2$ גרם.

בטבלה רואים שככל שמשקל מנת המזון גדל, משקל העכבר בדרך כלל גדל – קשר חיובי וחזק. לכן נפסלים $0$ (אין קשר) ו־$-0.123$ (קשר שלילי וחלש).

הקשר אינו מלא: הנקודות אינן על קו ישר אחד – למשל בעבור $x=3$ יש שלושה משקלים שונים (14, 15, 16). לכן $r\ne 1$.

נשאר $r=0.923$ – קשר חיובי חזק אך לא מלא.

תשובה: $r=0.923$

שיפוע ישר הרגרסיה:

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(3.4,19.4)$:

תשובה: $y=4.681x+3.485$

מפחיתים 2 גרם מכל משקל עכבר (מכל ערך של $y$):

• הממוצע קטן ב־2: $\bar{y}=19.4-2=17.4$.

• סטיית התקן $S_y$ לא משתנה, וגם $r$ לא משתנה (כל הנקודות זזות 2 יחידות למטה, המרחקים ביניהן לא משתנים). לכן השיפוע נשאר $4.681$.

(כל ישר הרגרסיה פשוט ירד ב־2: $3.485-2=1.485$.)

תשובה: $y=4.681x+1.485$

הערך $x=3.5$ נמצא בתחום הנתונים (בין 1 ל־5), ולכן אפשר להשתמש בישר לניבוי. נציב בישר מסעיף ד:

תשובה: כ־17.87 גרם.

מספר המשפחות: $30+y+x+6=36+x+y$. סכום המכוניות: $0\cdot 30+1\cdot y+2x+3\cdot 6=y+2x+18$. הממוצע הוא 1:

תשובה: $x=18$

נסמן ב־$N$ את מספר המשפחות. נחשב את השונות לפי הממוצע $\bar{x}=1$:

נתון $S=\frac{6}{7}$, כלומר $S^2=\frac{36}{49}$:

תשובה: 98 משפחות.

$y=98-30-18-6=44$. הטבלה המלאה:

שכיח: הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר (44) – מכונית אחת.

חציון: 98 משפחות, ולכן החציון הוא ממוצע הערכים במקומות 49 ו־50. המקומות 1–30 הם 0, והמקומות 31–74 הם 1, לכן שני הערכים הם 1.

תשובה: השכיח: 1. החציון: 1.

גם ביישוב ב׳ יש 98 משפחות, ולכן החציון הוא ממוצע הערכים במקומות 49 ו־50 (בסידור מהקטן לגדול):

הערכים הם מספרים שלמים 0–3, ולכן בהכרח $a_{49}=0$ ו־$a_{50}=1$. כלומר בדיוק 49 משפחות הן בלי מכונית.

תשובה: 49 משפחות.