בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד ב׳

תשובה: $x\ne -3$

אנכית: $x=-3$ (המכנה מתאפס, והמונה $9\cdot (-3)\ne 0$).

אופקית: מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן $y=0$.

תשובה: $x=-3$, $y=0$

$f(0)=0$, ו־$f(x)=0$ רק כאשר $9x=0$, כלומר $x=0$.

תשובה: $(0,0)$

לפי נגזרת של מנה:

תשובה: $\max \left(3,\frac{3}{4}\right)$

תשובה: ראו סקיצה.

לפי הסקיצה: משמאל לאסימפטוטה $x=-3$ כל ערכי הפונקציה שליליים, ומימין לה הפונקציה מגיעה לכל היותר ל־$\frac{3}{4}$ (בנקודת המקסימום).

ישר אופקי $y=k$ עם $k>0$ חותך את הגרף בנקודה אחת בלבד רק כאשר הוא משיק לגרף בנקודת המקסימום. (עבור $0<k<\frac{3}{4}$ יש שתי נקודות חיתוך, ועבור $k>\frac{3}{4}$ אין בכלל.)

תשובה: $k=\frac{3}{4}$

הגרף של $g(x)=f(x)+1$ הוא הגרף של $f$ מוזז יחידה אחת למעלה. האסימפטוטה האנכית לא משתנה, והאופקית עולה ב־1.

תשובה: $x=-3$, $y=1$

$g(x)=\frac{3}{4}⟺f(x)+1=\frac{3}{4}⟺f(x)=-\frac{1}{4}$.

לפי הסקיצה, הישר $y=-\frac{1}{4}$ חותך את הגרף של $f$ פעמיים: פעם משמאל ל־$x=-3$ (שם $f$ יורדת מ־0 ל־$-\infty$) ופעם בין $-3$ ל־$0$ (שם $f$ עולה מ־$-\infty$ ל־0).

בדיקה אלגברית: $\frac{9x}{(x+3{)}^2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow x^2+42x+9=0\Rightarrow x\approx -41.78,x\approx -0.22$.

תשובה: 2 נקודות משותפות.

ל־$f(x)$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות, ולכן $f^{\prime }(x)$ מתאפסת בדיוק פעמיים ומחליפה סימן בכל אחת מהן.

• גרף (1) חותך את ציר ה־$x$ פעם אחת בלבד – נקודת קיצון אחת.
• גרף (2) חותך את ציר ה־$x$ שלוש פעמים – שלוש נקודות קיצון.
• גרף (3) חותך את ציר ה־$x$ פעמיים, ומחליף סימן בכל חיתוך.

תשובה: גרף (3).

עם ציר ה־$y$: $f(0)=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$.

עם ציר ה־$x$: $x^2+1>0$ תמיד, ולכן $f(x)=0$ רק כאשר $\sqrt{3-2x}=0$, כלומר $x=1.5$.

תשובה: $(0,\sqrt{3})$, $(1.5,0)$

לפי כלל המכפלה:

תשובה: $\min (0.2,1.68)$, $\max (1,2)$, $\min (1.5,0)$ (קצה).

מהטבלה שבסעיף ג (1).

תשובה: עלייה: $0.2<x<1$. ירידה: $x<0.2$ וגם $1<x<1.5$.

תשובה: ראו סקיצה.

גרף הנגזרת וציר ה־$x$ סוגרים שטח בין נקודות האפס של הנגזרת, $x=0.2$ ו־$x=1$, ושם $f^{\prime }(x)>0$:

תשובה: $S\approx 0.323$ יח״ר