גאומטרייה וטריגונומטריה

$CB$ קוטר, ולכן $\angle CAB=90^{\circ }$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה). כלומר $AC\perp AB$.

$AB$ מקביל לציר ה־$y$, וציר ה־$y$ מאונך לציר ה־$x$. ישר המאונך ל־$AB$ מאונך גם לציר ה־$y$, ולכן $AC$ מקביל לציר ה־$x$.

תשובה: $\angle CAB=90^{\circ }$ (זווית היקפית על קוטר) ו־$AB$ אנכי, לכן $AC$ אופקי.

נתבונן במשולשים $ABC$ ו־$CFD$:

1. $\angle CAB=90^{\circ }$ (סעיף א (1)), ו־$\angle FCD=90^{\circ }$ (משיק מאונך לרדיוס/לקוטר בנקודת ההשקה; $CD$ הוא המשך הקוטר $CB$). לכן $\angle CAB=\angle FCD$.
2. $\angle ACB=\angle CDF$ (זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $AC$ וציר ה־$x$, והחותך $CD$).

לכן $△ABC\sim △CFD$ (ז.ז).

תשובה: הוכחה: זווית ישרה + זוויות מתחלפות (ז.ז).

$F$ – חיתוך המשיק עם ציר ה־$x$ ($y=0$):

$F$ ו־$D$ על ציר ה־$x$:

תשובה: $FD=31.25$

$CD\perp CF$ (סעיף א (2)). שיפוע $CF$ הוא $\frac{4}{3}$, ולכן $m_{CD}=-\frac{3}{4}$. דרך $D(8,0)$:

תשובה: $y=-\frac{3}{4}x+6$

$C$ היא נקודת החיתוך של $CF$ ו־$CD$:

תשובה: $CD=25$

נחשב את היקף המשולש $CFD$:

יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון:

תשובה: היקף המשולש $ABC$ הוא 24.

$AC$ קוטר, ולכן $\angle ABC=90^{\circ }$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

הזוויות $\angle ABO,\angle ABC,\angle CBE$ יוצרות יחד זווית שטוחה (על ציר ה־$x$):

במשולש $BEC$: $\angle BEC=90^{\circ }$ (נתון $CE\perp$ ציר ה־$x$), ולכן $\angle BCE=90^{\circ }-\angle CBE$ (סכום זוויות במשולש).

מכאן $\angle ABO=\angle BCE$.

תשובה: הוכחה: שתיהן משלימות את $\angle CBE$ ל־$90^{\circ }$.

במשולשים $AOB$ ו־$BEC$:

1. $\angle AOB=\angle BEC=90^{\circ }$ (הצירים מאונכים; $CE$ אנך לציר ה־$x$).
2. $\angle ABO=\angle BCE$ (סעיף א (1)).

לכן $△AOB\sim △BEC$ (ז.ז).

תשובה: הוכחה: זווית ישרה + סעיף א (1) – ז.ז.

מהדמיון $△AOB\sim △BEC$ הצלעות המתאימות הן: $AO\leftrightarrow BE$, $OB\leftrightarrow EC$, $AB\leftrightarrow BC$.

$AO=12$ ו־$OB=9$. יחס הדמיון הוא 3, ולכן:

תשובה: $BE=36$

$x_C=x_B+BE=9+36=45$ ו־$y_C=EC=27$.

תשובה: $C(45,27)$

המשיק בנקודה $C$ מאונך לקוטר $AC$:

ולכן שיפוע המשיק הוא $-3$ (מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$):

תשובה: $y=-3x+162$

$K$ – חיתוך המשיק עם ציר ה־$x$: $0=-3x+162\Rightarrow x=54$, כלומר $K(54,0)$ ו־$EK=54-45=9$.

$OA$ מונח על ציר ה־$y$ ו־$EC$ מאונך לציר ה־$x$, ולכן $OA\parallel EC$ (שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה) והמרובע $OACE$ הוא טרפז (ישר־זווית, כי $OE$ על ציר ה־$x$).

נחשב את שטח המרובע כטרפז $OACE$, פחות המשולש $AOB$, ועוד המשולש $CEK$:

תשובה: $S_{ABKC}=945$ יח״ר

$BD$ מקביל לציר ה־$x$, ו־$AD$ מונח על ציר ה־$y$, ולכן $BD\perp AD$, כלומר $\angle ADB=90^{\circ }$.

זווית היקפית בת $90^{\circ }$ נשענת על קוטר, ולכן $AB$ הוא קוטר במעגל.

תשובה: $\angle ADB=90^{\circ }$ – זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

$\angle CBD$ ו־$\angle DAC$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $CD$, ולכן הן שוות.

תשובה: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.

במשולשים $CBE$ ו־$DAE$:

1. $BE=AE$ (נתון).
2. $\angle CBE=\angle DAE$ (סעיף א (2)).
3. $\angle BEC=\angle AED$ (זוויות קודקודיות).

לכן $△CBE\cong △DAE$ (ז.צ.ז).

תשובה: הוכחה לפי ז.צ.ז.

$BD$ מקביל לציר ה־$x$ ו־$D$ על ציר ה־$y$, ולכן $D(0,6)$ ו־$ED=4.5$.

במשולש ישר הזווית $ADE$:

$BE=AE=7.5$, ו־$B$ על הישר $y=6$ משמאל ל־$E$:

תשובה: $A(0,12)$, $B(-12,6)$

$AB$ קוטר, ולכן המרכז $M$ הוא אמצע $AB$:

תשובה: $(x+6{)}^2+(y-9{)}^2=45$

מהחפיפה $△CBE\cong △DAE$ (סעיף ב): $BC=AD=6$ (צלעות מתאימות מול זוויות שוות).

תשובה: $BC=6$

מהחפיפה גם $CE=DE=4.5$. $MB$ הוא רדיוס: $MB=\sqrt{45}$.

תשובה: $P\approx 20.562$

נסמן $\angle EOB=\angle EBO=\beta$.

$\angle EOA$ ו־$\angle ECA$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $EA$, ולכן $\angle ECA=\angle EOA=\beta$ (הזווית $\angle EOA$ היא הזווית $\angle EOB$, כי $A$ על הקטע $OB$).

במשולש $ACB$: $\angle ACB=\angle ECA=\beta$ ו־$\angle ABC=\angle EBO=\beta$.

במשולש מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ולכן $AC=AB$.

תשובה: הוכחה: $\angle ACB=\angle ABC$ (זוויות היקפיות על הקשת $EA$).

$B$ על החלק החיובי של ציר ה־$x$, מימין ל־$A$: $x_B=4+5=9$.

תשובה: $B(9,0)$

$\angle COA=90^{\circ }$ (הזווית בין הצירים), והיא זווית היקפית במעגל. זווית היקפית בת $90^{\circ }$ נשענת על קוטר, ולכן $AC$ קוטר.

תשובה: הוכחה: זווית היקפית ישרה $\angle COA$.

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר $AC$, והרדיוס הוא חצי מהקוטר:

תשובה: $(x-2{)}^2+(y-1.5{)}^2=6.25$

משוואת $CB$ (דרך $C(0,3)$ ו־$B(9,0)$): $m=\frac{0-3}{9-0}=-\frac{1}{3}$, ולכן $y=-\frac{1}{3}x+3$.

$x_E=4.5\Rightarrow y_E=-1.5+3=1.5$, כלומר $E(4.5,1.5)$.

לשני המשולשים אותו בסיס $OB=9$, והגבהים הם $y_C=3$ ו־$y_E=1.5$:

תשובה: פי 2.

הישר $OE$ עובר דרך $O(0,0)$ ו־$E(4.5,1.5)$:

תשובה: $\angle EOB\approx 18.43^{\circ }$

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא $180^{\circ }$: $\angle A+\angle C=180^{\circ }$. נתון $\angle A=\angle C$, ולכן $\angle A=\angle C=90^{\circ }$.

$\angle BAD=90^{\circ }$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $BD$. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן $BD$ קוטר.

תשובה: הוכחה: $\angle A=\angle C=90^{\circ }$, זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

המרכז הוא אמצע הקוטר $BD$, והרדיוס חצי ממנו:

תשובה: $x^2+(y-7{)}^2=25$

$\angle BCD=90^{\circ }$ (סעיף א), כלומר $DC\perp BC$. $m_{BC}=-\frac{1}{2}$, ולכן $m_{DC}=2$. הישר עובר דרך $D(0,2)$:

תשובה: $y=2x+2$

משוואת $BC$ (דרך $B(0,12)$): $y=-\frac{1}{2}x+12$. נקודת החיתוך עם $DC$:

תשובה: $C(4,10)$

$E$ אמצע $DC$: $E\left(\frac{0+4}{2},\frac{2+10}{2}\right)=E(2,6)$.

המשולש $BCE$ ישר זווית ב־$C$ ($\angle BCD=90^{\circ }$):

תשובה: $S_{BCE}=10$ יח״ר

במשולש ישר הזווית $BCE$ הניצבים שווים ($BC=CE=\sqrt{20}$), ולכן הוא שווה שוקיים וזוויות הבסיס שוות:

תשובה: $\angle BEC=45^{\circ }$

$BD$ מונח על ציר ה־$y$. נוריד מ־$E(2,6)$ אנך לציר ה־$y$, לנקודה $(0,6)$. במשולש ישר הזווית שנוצר, הניצב שמול הזווית הוא $2$ (המרחק של $E$ מציר ה־$y$) והניצב שליד הזווית הוא $12-6=6$:

תשובה: $\angle DBE\approx 18.43^{\circ }$

הנקודות $A,O,B$ על ישר אחד, ולכן הזוויות $\angle AOE,\angle EOC,\angle COB$ יוצרות יחד זווית שטוחה. $\angle EOC=90^{\circ }$ (בין הצירים), ולכן:

במשולש $OAE$: $\angle OAE=90^{\circ }$ (זווית בריבוע), ולכן $\angle AEO+\angle AOE=90^{\circ }$.

מכאן $\angle AEO=\angle BOC$ (שתיהן משלימות את $\angle AOE$ ל־$90^{\circ }$).

תשובה: הוכחה.

במשולשים $OAE$ ו־$CBO$:

1. $\angle OAE=\angle CBO=90^{\circ }$ (זוויות הריבוע).
2. $\angle AEO=\angle BOC$ (סעיף א (1)).

לכן $△OAE\sim △CBO$ (ז.ז).

תשובה: הוכחה לפי ז.ז.

מהדמיון: $\frac{OA}{CB}=\frac{AE}{BO}=\frac{OE}{CO}$.

$O$ אמצע $AB$, ולכן $OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CB$ (צלעות הריבוע שוות). כלומר יחס הדמיון הוא $\frac{1}{2}$:

תשובה: $\frac{BO}{AE}=2$

מאותו יחס דמיון: $\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$. $OE=5$, ולכן:

תשובה: $OC=10$, $C(10,0)$

$BC$: שיפוע $-\frac{1}{2}$ דרך $C(10,0)$: $y=-\frac{1}{2}x+5$.

$AB\perp BC$ ועובר דרך $O(0,0)$, ולכן $AB$: $y=2x$. נקודת החיתוך:

תשובה: $B(2,4)$

תשובה: $S=80$ יח״ר

$\angle BCO$ היא הזווית בין $CB$ לציר ה־$x$. השיפוע של $BC$ הוא $-\frac{1}{2}$, ולכן $\tan \angle BCO=\frac{1}{2}$.

במשולש ישר הזווית $OCE$ (הזווית הישרה ב־$O$): $\tan \angle OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

לשתי הזוויות (החדות) אותו טנגנס, ולכן הן שוות: $\angle BCO=\angle OCE\approx 26.57^{\circ }$.

תשובה: כן – לשתיהן $\tan =\frac{1}{2}$.