בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳

תשובה: $x\ne \pm 1$

אנכיות: המכנה מתאפס ב־$x=\pm 1$, והמונה שם $4-1=3\ne 0$.

אופקית: המונה והמכנה מאותה מעלה, $y=\frac{4}{1}=4$.

תשובה: $x=1$, $x=-1$, $y=4$

עם ציר ה־$y$: $f(0)=\frac{-1}{-1}=1$.

עם ציר ה־$x$: $4x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}$.

תשובה: $(0,1)$, $\left(\frac{1}{2},0\right)$, $\left(-\frac{1}{2},0\right)$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0$. המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }$ הפוך לסימן של $x$:

תשובה: $\max (0,1)$

תשובה: ראו סקיצה.

כאשר $x\to \pm \infty$: $f(x)\to 4$, ולכן $g(x)=-f(x)+k\to -4+k$. האסימפטוטה האופקית של $g$ היא $y=k-4$:

תשובה: $k=5$

$g(x)=-f(x)+5$: הגרף של $g$ הוא שיקוף של הגרף של $f$ ביחס לציר ה־$x$ ואחר כך הזזה של 5 למעלה.

בשיקוף, נקודת המקסימום $(0,1)$ הופכת לנקודת מינימום $(0,-1)$, ובהזזה היא עוברת ל־$(0,4)$.

(בדיקה: $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)=\frac{6x}{(x^2-1{)}^2}$ – שלילית משמאל ל־0 וחיובית מימין, ו־$g(0)=-1+5=4$.)

תשובה: $\min (0,4)$

הנקודה $(6,0)$ על הגרף:

תשובה: $a=3$ ✓

תשובה: $x\ge -3$

נקודת הקצה: $f(-3)=-3-0=-3$.

תשובה: $\max (-3,-3)$ (קצה), $\min (-2,-4)$

תשובה: ראו סקיצה.

תכונות $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x+3}}$:

• מוגדרת רק ל־$x>-3$, וכאשר $x\to -3^{+}$: $f^{\prime }(x)\to -\infty$ (אסימפטוטה אנכית $x=-3$).
• מתאפסת ב־$x=-2$: שלילית משמאל, חיובית מימין.
• עולה, וכאשר $x\to \infty$ היא מתקרבת ל־1.

גרף I יורד, וגרפים III ו־IV מתחילים בנקודת קצה (בלי אסימפטוטה). הגרף המתאים הוא II.

תשובה: גרף II.

$f^{\prime }(x)$ חותכת את ציר ה־$x$ ב־$x=-2$, ובתחום $-2\le x\le 1$ היא חיובית:

תשובה: $S=1$ יח״ר

לפי גרף הנגזרת:

תשובה: מינימום ב־$x=-2$ וב־$x=2$; מקסימום ב־$x=0$.

השטח $S$ נמצא מתחת לציר ה־$x$ בתחום $0\le x\le 2$, ולכן:

תשובה: $f(0)=11.5$

נקודות הקיצון: $\min (-2,3.5)$, $\max (0,11.5)$, $\min (2,3.5)$. ל־$f$ אין אסימפטוטה אופקית, והיא עולה ללא גבול משמאל ל־$-2$ (כשהולכים שמאלה) ומימין ל־2.

(הסקיצה צוירה לפי הפונקציה $f(x)=0.5x^4-4x^2+11.5$, שמקיימת את כל הנתונים בשאלה – אבל לסקיצה מספיקים נקודות הקיצון וכיווני העלייה והירידה.)

תשובה: ראו סקיצה.

נעביר ישרים אופקיים $y=k$ על הסקיצה:

• $k<3.5$: אין נקודות חיתוך.
• $k=3.5$: הישר נוגע בגרף בשתי נקודות המינימום – 2 נקודות.
• $3.5<k<11.5$: 4 נקודות.
• $k=11.5$: 3 נקודות (כולל המקסימום).
• $k>11.5$: 2 נקודות – אחת בכל „זרוע” חיצונית של הגרף.

תשובה: $k=3.5$ או $k>11.5$.