סדרות

המרחקים שיוסי רץ בכל דקה יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון $a_1=75$ והמנה $q=1.02$ (כל דקה – פי $1.02$ מהקודמת).

תשובה: 79.59 מטרים.

סכום ארבעת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית:

תשובה: 309.12 מטרים.

תשובה: $S_n=3750(1.02^n-1)$ מטרים.

נחשב לפי הנוסחה מסעיף ב את המרחק הכולל ב־25 דקות:

ב־25 דקות יוסי רץ רק כ־2,402.27 מטרים, פחות מ־2,500 מטרים, ולכן הוא לא יצליח לעבור 2,500 מטרים בזמן שעומד לרשותו.

תשובה: ב־25 דקות הוא רץ רק כ־2,402.27 מ׳ < 2,500 מ׳.

נסמן ב־$a_1$ את המרחק שדני רץ בדקה הראשונה. המנה זהה: $q=1.02$. נדרוש שהמרחק הכולל ב־25 דקות יהיה לפחות 2,500 מטרים:

תשובה: כ־78.05 מטרים.

המרחקים יוצרים סדרה חשבונית עם הפרש $d=50$. נסמן ב־$a_1$ את המרחק באימון הראשון:

תשובה: 350 מטר.

$n$ חייב להיות מספר טבעי (מספר האימון), ולכן אין אימון שבו שחה נועם 830 מטר בדיוק.

תשובה: לא ייתכן – מתקבל $n=10.6$, שאינו מספר טבעי.

תשובה: באימון ה־14.

סכום המרחקים ב־14 האימונים הראשונים (סכום סדרה חשבונית):

אחרי האימון ה־14 שחה נועם 1,000 מטר בכל אימון. נסמן ב־$k$ את מספר האימונים האלה:

תשובה: 30 אימונים.

לפי כלל הנסיגה $a_{n+1}-a_n=-2$ לכל $n$: ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע.

תשובה: חשבונית, עם הפרש $d=-2$.

תשובה: $a_n=86-2n$

האיברים $a_1,\dots ,a_{42}$ חיוביים ($a_{42}=2$), ו־$a_{43}=0$ אינו חיובי.

תשובה: 42 איברים חיוביים.

$a_{43}=0$, ולכן האיבר השלילי הראשון הוא $a_{44}$:

תשובה: $a_{44}=-2$

האיברים השליליים הם $-2,-4,-6,\dots$ – סדרה חשבונית עם $b_1=-2$, $d=-2$. נסמן ב־$k$ את מספרם:

בסדרה: 42 איברים חיוביים, האיבר $0$, ו־23 איברים שליליים:

תשובה: 66 איברים.

המרחקים השבועיים יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=6$, $d=1.5$, והאיבר האחרון $a_n=42$. לפי נוסחת האיבר הכללי:

תשובה: 25 שבועות

תשובה: 34.5 ק״מ

המרוץ הוקדם בשבועיים, ולכן התוכנית נמשכת $25-2=23$ שבועות. אחרי השבוע ה־20 נשארו 3 שבועות (21, 22, 23), ובכל אחד מהם עדי רצה 2 ק״מ יותר מבשבוע הקודם:

שבוע 21: $34.5+2=36.5$   שבוע 22: $36.5+2=38.5$   שבוע 23: $38.5+2=40.5$

(או: סדרה חשבונית עם $b_1=36.5$, $d=2$: $b_3=36.5+2\cdot 2=40.5$.)

בשבוע האחרון עדי רצה $40.5$ ק״מ, ולא 42 ק״מ.

תשובה: לא – בשבוע האחרון (ה־23) היא רצה 40.5 ק״מ.

נחשב בשני חלקים. 20 השבועות הראשונים – סכום סדרה חשבונית:

שלושת השבועות האחרונים (סעיף ג):

סך הכול:

תשובה: 520.5 ק״מ

לפי ההצעה הראשונה התשלומים יוצרים סדרה חשבונית (כל תשלום גבוה מקודמו בסכום קבוע $d$). נשתמש ב־$a_n=a_1+(n-1)d$.

ההפרש בין התשלום השישי לשני:

התשלום התשיעי גבוה פי 1.2 מהראשון:

תשובה: 2,000 ש״ח

סכום כל התשלומים הוא מחיר האופנוע, $S_n=43,650$:

$n=18$ או $n=-97$. מספר התשלומים חייב להיות מספר טבעי, ולכן $n=18$.

תשובה: 18 תשלומים

בהצעה השנייה יש גם 18 תשלומים שווים, ולכן כל תשלום הוא:

נמצא כמה תשלומים בהצעה הראשונה קטנים מ־2,425:

כלומר התשלומים 1 עד 9 (התשלום התשיעי הוא $2000+8\cdot 50=2400$ והעשירי כבר $2450$).

תשובה: 9 תשלומים