מצגת הסבר – סדרות

13 שקפים · סדרה חשבונית והנדסית: איבר כללי, סכום ושאלות מילוליות

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דסדרות · מצגת הסבר

סדרות

מצגת הסבר – סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

מה נלמד?

שאלות הסדרות בשאלון הן כמעט תמיד שאלות מילוליות: תשלומים, אימונים, מרחקים.

לזהות: סדרה חשבונית או הנדסית?
למצוא איבר: $a_{n}$
למצוא את מקום האיבר: $n$
לחשב סכום: $S_{n}$
לבנות ולפתור משוואה עם $a_{1}$ , $d$ או $q$

המילים בשאלה מגלות את הסוג

„גדול ב־50 מהקודם” ← מוסיפים מספר קבוע ← חשבונית

„גדול פי 1.02 מהקודם” ← כופלים במספר קבוע ← הנדסית

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שני סוגי סדרות

סדרה חשבונית

כל איבר = הקודם ועוד מספר קבוע $d$ (ההפרש).

5, 8, 11, 14, \dots

$d = 8 - 5 = 3$

$d > 0$ ← הסדרה עולה. ‏ $d < 0$ ← יורדת.

סדרה הנדסית

כל איבר = הקודם כפול מספר קבוע $q$ (המנה).

2, 6, 18, 54, \dots

$q = 6 : 2 = 3$

עלייה של 2% בכל פעם ← $q = 1.02$

כלל נסיגה מגדיר כל איבר לפי הקודם לו. למשל $a_{n + 1} - a_{n} = - 2$ ← ההפרש קבוע ← סדרה חשבונית עם $d = - 2$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · סדרות

	סדרה חשבונית	סדרה הנדסית
כלל נסיגה	$a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} + d$	$a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$
איבר $n$ ־י	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$
סכום	$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ $S_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$	$S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1$
סדרה אין־סופית שסכומה מתכנס	–	$S = \frac{a _{1}}{1 - q}$

לזכור (לא בנוסחאון): סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת כאשר $- 1 < q < 1$ ‏( $q \neq = 0$ ).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

מזהים את סוג הסדרה (ב־ או פי).
רושמים מה נתון: $a_{1}$ , $d$ או $q$ , ומה מבקשים.
בוחרים נוסחה: איבר ← $a_{n}$ , סה״כ ← $S_{n}$ .
מציבים. כשחסר נתון – בונים משוואה (או שתיים).
בודקים שהתשובה הגיונית: $n$ חייב להיות מספר טבעי.

„מצאו את $n$ ”

נועם שוחה. נתון:

a_{1} = 350, d = 50

באיזה אימון שחה 830 מטר?

350 + 50 (n - 1) = 830

50 (n - 1) = 480 \Rightarrow n = 10.6

$n$ אינו טבעי ← אין אימון כזה.

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד ב׳ · שאלה 1

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הצעה ראשונה (א)

בגרות חורף תשפ״ב (2022) · שאלה 1

מחיר אופנוע 43,650 שקלים. הצעה ראשונה: כל תשלום גבוה מקודמו במספר שקלים קבוע. ההפרש בין התשלום השישי לשני הוא 200 שקלים, והתשלום התשיעי גבוה פי 1.2 מהראשון. א. מצאו את התשלום הראשון.

„גבוה במספר קבוע” ← סדרה חשבונית.

a_{6} - a_{2} = (a_{1} + 5 d) - (a_{1} + d)

4 d = 200

d = 50

התשלום התשיעי גבוה פי 1.2 מהראשון:

a_{1} + 8 d = 1.2 a_{1}

8 \cdot 50 = 0.2 a_{1} \Rightarrow a_{1} = 2000

התשלום הראשון: 2,000 ש״ח

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מספר התשלומים (ב)

בגרות חורף תשפ״ב (2022) · שאלה 1

ב. מצאו את מספר התשלומים לפי ההצעה הראשונה.

סכום כל התשלומים = מחיר האופנוע:

S_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2} = 43, 650

\frac{n [ 2 \cdot 2000 + 50 ( n - 1 )]}{2} = 43, 650

n (4000 + 50 n - 50) = 87, 300

50 n^{2} + 3950 n - 87, 300 = 0 / : 50

n^{2} + 79 n - 1746 = 0

n = \frac{- 79 \pm 7 9 ^{2} + 4 \cdot 1746}{2} = \frac{- 79 \pm 115}{2}

$n = 18$ או $n = - 97$ .

מספר תשלומים הוא מספר טבעי ← נפסל $- 97$ .

18 תשלומים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – השוואת ההצעות (ג)

בגרות חורף תשפ״ב (2022) · שאלה 1

הצעה שנייה: 18 תשלומים שווים. ג. כמה מהתשלומים בהצעה הראשונה נמוכים מהתשלום הקבוע בהצעה השנייה?

התשלום הקבוע:

43, 650 : 18 = 2425

מחפשים את האיברים הקטנים מ־2,425:

2000 + 50 (n - 1) < 2425

50 (n - 1) < 425 \Rightarrow n < 9.5

בדיקה

a_{9} = 2000 + 8 \cdot 50 = 2400

a_{10} = 2450

התשלומים 1 עד 9 קטנים מ־2,425.

9 תשלומים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – סדרה הנדסית (א, ב)

בגרות חורף תשפ״ג (2023) · שאלה 1

בדקה הראשונה יוסי רץ 75 מטרים. בכל דקה, החל מהשנייה, הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מהמרחק בדקה הקודמת.

„פי 1.02” ← סדרה הנדסית:

a_{1} = 75, q = 1.02

א1

המרחק בדקה הרביעית:

a_{4} = 75 \cdot 1.0 2^{3} \approx 79.59

א2

המרחק הכולל ב־4 הדקות הראשונות:

S_{4} = \frac{75 ( 1.0 2 ^{4} - 1 )}{1.02 - 1} \approx 309.12

נוסחה למרחק הכולל ב־ $n$ דקות:

S_{n} = \frac{75 ( 1.0 2 ^{n} - 1 )}{0.02} = 3750 (1.0 2^{n} - 1)

דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה, כמו שמבקשים בשאלה.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – סדרה הנדסית (ג, ד)

בגרות חורף תשפ״ג (2023) · שאלה 1

יוסי רוצה לרוץ 2,500 מטרים, ויש לו 25 דקות בלבד. הסבירו מדוע לא יצליח.

S_{25} = 3750 (1.0 2^{25} - 1) \approx 2402.27

‏2,402.27 מטרים פחות מ־2,500 ← הוא לא יצליח.

דני רץ באותו מסלול, גם אצלו $q = 1.02$ . מהו המרחק הקצר ביותר בדקה הראשונה כדי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות?

\frac{a _{1} ( 1.0 2 ^{25} - 1 )}{0.02} \geq 2500

a_{1} \geq \frac{2500 \cdot 0.02}{1.0 2 ^{25} - 1} = \frac{50}{0.640606} \approx 78.05

כ־78.05 מטרים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

כלל נסיגה – דוגמה מהבגרות

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 1

בסדרה: $a_{1} = 84$ ולכל $n$ : $a_{n + 1} - a_{n} = - 2$ .

ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע ← חשבונית, $d = - 2$ .
האיבר הכללי:
$a_{n} = 84 + (n - 1) \cdot (- 2) = 86 - 2 n$
כמה איברים חיוביים?
$86 - 2 n > 0 \Rightarrow n < 43$

האיברים $a_{1}$ עד $a_{42}$ חיוביים ( $a_{42} = 2$ ).

$a_{43} = 0$ – לא חיובי ולא שלילי.

האיבר השלילי הראשון:

a_{44} = 86 - 88 = - 2

42 איברים חיוביים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

„ב־” ← חשבונית ( $d$ ). „פי” או „באחוזים” ← הנדסית ( $q$ ).
עלייה של $p %$ ← $q = 1 + \frac{p}{100}$ , לא $q = p$ .
באיבר ה־ $n$ החזקה היא $n - 1$ , לא $n$ .

$n$ הוא מספר טבעי – פוסלים פתרון שלילי או שבר, ומסבירים במילים.
„סך הכול” / „כולל” ← סכום $S_{n}$ , לא $a_{n}$ .
כשהסדרה משתנה באמצע – מחשבים בשני חלקים ומחברים.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 13

בס״דסדרות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

בסדרה חשבונית $a_{1} = 5, d = 3$ . מצאו את $a_{20}$ ואת $S_{20}$ .
באותה סדרה: איזה מקום תופס האיבר 95?
בסדרה הנדסית $a_{1} = 2, q = 3$ . מצאו את $a_{5}$ ואת $S_{5}$ .
סדרה הנדסית אין־סופית: $a_{1} = 12, q = 0.25$ . מהו סכומה?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$
$S_{20} = \frac{20 ( 5 + 62 )}{2} = 670$
$5 + 3 (n - 1) = 95 \Rightarrow n = 31$
$a_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 162$
$S_{5} = \frac{2 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1} = 242$
$S = \frac{12}{1 - 0.25} = 16$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547113 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – סדרות

סדרות

מה נלמד?

המילים בשאלה מגלות את הסוג

שני סוגי סדרות

סדרה חשבונית

סדרה הנדסית

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

„מצאו את n”

שאלת בגרות פתורה – הצעה ראשונה (א)

שאלת בגרות פתורה – מספר התשלומים (ב)

שאלת בגרות פתורה – השוואת ההצעות (ג)

בדיקה

שאלת בגרות פתורה – סדרה הנדסית (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – סדרה הנדסית (ג, ד)

כלל נסיגה – דוגמה מהבגרות

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

„מצאו את $n$ ”