בגרות חורף נבצרים תשפ״ב (2022)

המכנה אינו יכול להיות 0: $x-2\ne 0$.

תשובה: $x\ne 2$

ב־$x=2$ המכנה מתאפס והמונה לא: $2^2-4\cdot 2+5=1\ne 0$. לכן זו אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=2$

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($f(x)=0$): המונה צריך להתאפס, $x^2-4x+5=0$. הדיסקרימיננטה: $(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0$, ולכן אין פתרון – אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: $(0,-2.5)$ בלבד; אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

נגזור לפי נגזרת של מנה:

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $x^2-4x+3=0$, כלומר $(x-1)(x-3)=0$: $x=1$ או $x=3$.

טבלת סימן הנגזרת (המכנה תמיד חיובי, לכן הסימן הוא סימן המונה):

תשובה: $(1,-2)$ מקסימום, $(3,2)$ מינימום

משמאל לאסימפטוטה הגרף כולו מתחת לציר ה־$x$ (עם מקסימום ב־$(1,-2)$), ומימין לה כולו מעל ציר ה־$x$ (עם מינימום ב־$(3,2)$).

תשובה: ראו סקיצה.

$g(x)=|f(x)|$: החלק של הגרף של $f(x)$ שמעל ציר ה־$x$ נשאר כמו שהוא, והחלק שמתחת לציר ה־$x$ משתקף כלפי מעלה (סימטריה ביחס לציר ה־$x$). כל הגרף של $f$ משמאל ל־$x=2$ שלילי, ולכן הוא כולו משתקף.

תשובה: ראו סקיצה.

המקסימום $(1,-2)$ של $f$ משתקף ל־$(1,2)$ והופך למינימום: משמאל ל־$x=1$ הגרף של $g$ יורד ומימין לו (עד האסימפטוטה) עולה.

המינימום $(3,2)$ של $f$ נמצא מעל ציר ה־$x$ ולכן לא משתנה.

תשובה: $(1,2)$ מינימום, $(3,2)$ מינימום

הישר $y=3$ נמצא מעל שתי נקודות המינימום של $g$ (ששתיהן בגובה 2). בכל אחד משני הענפים של $g$ הגרף שואף לאינסוף בשני הצדדים, ולכן הישר $y=3$ חותך כל ענף פעמיים – סך הכול 4 נקודות חיתוך (ראו בסקיצה).

(בדיקה אלגברית: $f(x)=3$ נותן $x=\frac{7\pm \sqrt{5}}{2}$ – שני פתרונות מימין לאסימפטוטה, ו־$f(x)=-3$ נותן $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ – שני פתרונות משמאל לה.)

תשובה: 4 פתרונות

המכנה אינו יכול להיות 0: $4x-1\ne 0$, כלומר $x\ne \frac{1}{4}$.

תשובה: $x\ne \frac{1}{4}$

אסימפטוטה אנכית: ב־$x=\frac{1}{4}$ המכנה מתאפס והמונה (1) לא, ולכן $x=\frac{1}{4}$.

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to \pm \infty$ המכנה $(4x-1{)}^2$ גדל מאוד, ולכן $\frac{1}{(4x-1{)}^2}\to 0$ ו־$f(x)\to -4$. האסימפטוטה האופקית היא $y=-4$.

תשובה: $x=\frac{1}{4}$, $y=-4$

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($f(x)=0$):

תשובה: $(0,-3)$, $\left(\frac{1}{8},0\right)$, $\left(\frac{3}{8},0\right)$

נגזור (נגזרת של מנה):

המונה $-8$ לעולם לא מתאפס, ולכן אין נקודות קיצון. הסימן של $f^{\prime }(x)$ תלוי בסימן של $(4x-1{)}^3$, כלומר בסימן של $4x-1$:

תשובה: עולה: $x<\frac{1}{4}$; יורדת: $x>\frac{1}{4}$

משני צידי האסימפטוטה האנכית הגרף שואף ל־$+\infty$, ובקצוות הוא מתקרב לאסימפטוטה $y=-4$ מלמעלה (כי $\frac{1}{(4x-1{)}^2}>0$).

תשובה: ראו סקיצה.

לפי טבלת סעיף א (4): משמאל ל־$x=\frac{1}{4}$ הפונקציה עולה, ולכן $f^{\prime }(x)>0$ – גרף הנגזרת מעל ציר ה־$x$. מימין ל־$x=\frac{1}{4}$ הפונקציה יורדת, ולכן $f^{\prime }(x)<0$ – גרף הנגזרת מתחת לציר ה־$x$.

רק בגרף II הגרף מעל ציר ה־$x$ משמאל לאסימפטוטה ומתחתיו מימין לה. (בגרף I הסימנים הפוכים, ובגרף III הגרף חיובי משני הצדדים – זה מתאים ל־$f(x)$ עצמה ולא לנגזרת.)

תשובה: גרף II

בתחום $1\le x\le 2$ גרף הנגזרת מתחת לציר ה־$x$ ($f^{\prime }(x)<0$), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$ עצמה, ולכן:

תשובה: $S=\frac{40}{441}\approx 0.091$

בנקודת קיצון פנימית $f^{\prime }(x)=0$ – זו נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה־$x$, כלומר $x=2$.

משמאל ל־$x=2$ גרף הנגזרת מעל ציר ה־$x$ ($f^{\prime }(x)>0$, הפונקציה עולה), ומימין לו מתחת לציר ה־$x$ ($f^{\prime }(x)<0$, הפונקציה יורדת). לכן זו נקודת מקסימום.

תשובה: $x=2$, מקסימום

נגזור לפי כלל המכפלה (${\left(\sqrt{a-x}\right)}^{\prime }=\frac{-1}{2\sqrt{a-x}}$):

לפי סעיף א (1): $f^{\prime }(2)=0$, ולכן המונה מתאפס ב־$x=2$:

תשובה: $a=3$

$f(x)=x\sqrt{3-x}$. הביטוי שבתוך השורש אינו יכול להיות שלילי:

(זה מתאים לאסימפטוטה האנכית בשרטוט של $f^{\prime }(x)$ ב־$x=3$: הנגזרת מוגדרת רק עבור $x<3$.)

תשובה: $x\le 3$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=0\cdot \sqrt{3}=0$, הנקודה $(0,0)$.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $x\sqrt{3-x}=0$, כלומר $x=0$ או $\sqrt{3-x}=0\Rightarrow x=3$.

תשובה: $(0,0)$, $(3,0)$

עם $a=3$: $f^{\prime }(x)=\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$, ו־$f^{\prime }(x)=0$ רק ב־$x=2$:

בנוסף, $x=3$ היא קצה תחום ההגדרה. משמאל לה הפונקציה יורדת אל $f(3)=0$, ולכן $(3,0)$ היא נקודת מינימום קצה.

תשובה: $(2,2)$ מקסימום; $(3,0)$ מינימום (קצה)

הפונקציה מוגדרת רק עבור $x\le 3$; היא עולה עד המקסימום $(2,2)$ ויורדת עד $(3,0)$.

תשובה: ראו סקיצה.

$g(x)=f(x+3)=(x+3)\sqrt{3-(x+3)}=(x+3)\sqrt{-x}$.

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי: $-x\ge 0$, כלומר $x\le 0$.

(הסבר נוסף: הגרף של $g(x)$ הוא הגרף של $f(x)$ מוזז 3 יחידות שמאלה, ולכן גם תחום ההגדרה זז 3 יחידות שמאלה: מ־$x\le 3$ ל־$x\le 0$.)

תשובה: $x\le 0$