גאומטרייה אנליטית

שיפוע הישר דרך $A(-16,6)$ ו־$B(0,18)$:

הישר חותך את ציר ה־$y$ בנקודה $B(0,18)$, ולכן:

תשובה: $y=0.75x+18$

המרכז $M$ נמצא על הישר $AB$ (המשך הקטע $MA$) ועל ציר ה־$x$, ולכן נציב $y=0$:

הרדיוס הוא המרחק $MA$:

תשובה: $(x+24{)}^2+y^2=100$

המשיק בנקודה $A$ מאונך לרדיוס $MA$. שיפוע $MA$ הוא $0.75=\frac{3}{4}$, ולכן שיפוע המשיק:

משוואת המשיק דרך $A(-16,6)$:

נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$: נציב $x=0$:

תשובה: $D\left(0,-15\frac{1}{3}\right)$

$AC$ קוטר, ולכן $M$ הוא אמצע הקטע $AC$:

$B$ ו־$D$ נמצאות על ציר ה־$y$, ולכן:

לכן $BD=CD$.

תשובה: $BD=CD=\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}$

$DA$ משיק ו־$MA$ רדיוס, ולכן $\angle BAD=90^{\circ }$ (משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה). במשולש ישר הזווית $ABD$:

תשובה: $\angle ABD\approx 53.13^{\circ }$

במשולש $BCD$: $BD=CD$ (סעיף ג), ולכן הוא שווה שוקיים וזוויות הבסיס שוות (מול צלעות שוות במשולש מונחות זוויות שוות):

הנקודות $C,M,A,B$ על ישר אחד, ולכן הקרניים $BC$ ו־$BA$ מתלכדות, כלומר $\angle CBD=\angle ABD$, ומאותה סיבה $\angle MCK=\angle BCD$:

בנוסף $\sin \angle MCK=\sqrt{1-0.6^2}=0.8$, ו־$MC=R=10$.

לפי נוסחת שטח משולש באמצעות שתי צלעות והזווית שביניהן:

תשובה: $CK=22.5$

הקודקוד $B$ על ציר ה־$x$, ולכן $B(b,0)$ עם $b<0$. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

$b=3$ או $b=-3$. $B$ על החלק השלילי של ציר ה־$x$, ולכן $b=-3$.

תשובה: $B(-3,0)$

שיפוע $AB$:

$\angle ABC=90^{\circ }$, כלומר $BC\perp AB$, ולכן $m_{BC}=-\frac{3}{4}$. משוואת $BC$ דרך $B(-3,0)$:

תשובה: $y=-\frac{3}{4}x-2\frac{1}{4}$

$C$ היא נקודת החיתוך של $BC$ עם האלכסון $AC$:

תשובה: $BC=15$

נתבונן במשולשים $DMA$ ו־$BMC$:

1. $\angle DAM=\angle BCM$ (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, $AD\parallel BC$, והחותך $AC$).
2. $\angle AMD=\angle CMB$ (זוויות קודקודיות).

לכן $△DMA\sim △BMC$ (לפי משפט הדמיון ז.ז – שתי זוויות שוות).

תשובה: הוכחה: שתי זוויות שוות (מתחלפות וקודקודיות) – ז.ז.

במשולשים הדומים, $AD$ ו־$CB$ הן צלעות מתאימות (מול הזוויות הקודקודיות השוות), ולכן יחס הדמיון:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

תשובה: פי 25.

$CD\perp AC$ ושיפוע $CD$ הוא $-2$, ולכן:

הישר $AC$ עובר דרך $E(4,15)$ (אמצע הצלע):

תשובה: $y=0.5x+13$

$C$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו־$CD$:

תשובה: $C(10,18)$

$E$ אמצע $AC$, ולכן:

המשולש שווה שוקיים ($AB=AC$), ולכן $AB=6\sqrt{5}$.

תשובה: $AB=6\sqrt{5}\approx 13.42$

$B(b,0)$ עם $b<0$. לפי נוסחת המרחק:

$b=4$ או $b=-8$. $B$ על החלק השלילי של ציר ה־$x$, ולכן $b=-8$.

תשובה: $B(-8,0)$

הזווית שישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה־$x$ מקיימת $\tan \alpha =m$.

תשובה: $\angle ABD\approx 63.43^{\circ }$, $\angle CBD=45^{\circ }$

$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD\approx 63.43^{\circ }-45^{\circ }=18.43^{\circ }$. במשולש שווה השוקיים גם $\angle ACB=18.43^{\circ }$, ולכן:

(דרך נוספת – בסיס $AC=6\sqrt{5}$ והגובה מ־$B$ לישר $AC$ הוא $\frac{18}{\sqrt{5}}$, ושוב $S=\frac{6\sqrt{5}\cdot \frac{18}{\sqrt{5}}}{2}=54$.)

תשובה: $S_{ABC}=54$ יח״ר

תשובה: $AB=5$

$BC\parallel$ ציר ה־$x$, ולכן $y_C=y_B=6$, כלומר $C(c,6)$. בדלתון $CB=AB=5$, ו־$C$ ברביע השני ($c<0$):

תשובה: $C(-5,6)$

בדלתון, האלכסון הראשי $DB$ (המחבר את קודקודי הראש) הוא האנך האמצעי של האלכסון $AC$. אמצע $AC$:

$DB$ עובר דרך $B(0,6)$:

(בדיקה: $M(-4,4)$ על הישר: $\frac{1}{2}\cdot (-4)+6=4$ ✓.)

תשובה: $y=\frac{1}{2}x+6$

$D$ היא נקודת החיתוך של $AD$ עם האלכסון $DB$:

תשובה: $D(-18,-3)$

הזווית שישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה־$x$: $\tan \alpha =m$.

תשובה: $\angle ADM\approx 8.13^{\circ }$

$AE$ הוא תיכון במשולש $ADC$ ($E$ אמצע $DC$), ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח: $S_{ADE}=\frac{1}{2}{S}_{ADC}$.

במשולש $ADC$: הבסיס $AC$ והגובה $DM$ (כי $DB\perp AC$):

תשובה: $S_{ADE}=17.5$ יח״ר

נמצא את $A$: נציב $x=-3$ במשוואת $AB$: $y=-1.75\cdot (-3)+11.75=5.25+11.75=17$, כלומר $A(-3,17)$.

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ הוא אמצע $AC$:

תשובה: $E(-7,9)$

תשובה: $m_{AC}=2$

במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה: $m_{BD}\cdot 2=-1\Rightarrow m_{BD}=-\frac{1}{2}$. האלכסון $BD$ עובר דרך $E(-7,9)$:

תשובה: $y=-0.5x+5.5$

$B$ היא נקודת החיתוך של $BD$ עם $AB$:

תשובה: $B(5,3)$

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש $AEB$ ישר זווית ($\angle AEB=90^{\circ }$):

תשובה: $\angle ABE\approx 33.69^{\circ }$

במשולש $AEB$: $\angle EAB=90^{\circ }-33.69^{\circ }=56.31^{\circ }$. לכן:

$G$ על $DE$, ולכן המשולש $AEG$ ישר זווית ב־$E$:

תשובה: $GE\approx 7.69$

שיפוע הצלע $CB$ הוא $m_{CB}=-\frac{2}{5}$. נתון ש־$\sphericalangle ACB=90^{\circ }$, כלומר $AC\perp CB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר $AC$ עובר דרך $A(-16,0)$:

תשובה: $y=2.5x+40$

$C$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו־$CB$. נשווה:

תשובה: $C(-10,15)$

$BE$ תיכון לצלע $AC$, ולכן $E$ היא אמצע $AC$:

אורך הקטע $EC$ לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

תשובה: $EC=\sqrt{65.25}\approx 8.078$

נמצא את אורך הניצב $CB$, כאשר $B$ היא נקודת החיתוך של $CB$ עם ציר ה־$y$: $B(0,11)$.

המשולש $CEB$ ישר זווית ($\sphericalangle ECB=90^{\circ }$), ולכן:

תשובה: $\sphericalangle CEB\approx 53.13^{\circ }$

שטח המשולש $ABC$ (ישר זווית ב־$C$):

התיכון $BE$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח (בסיסים שווים $AE=EC$ וגובה משותף מ־$B$), ולכן:

אורך $EB$ (במשולש ישר הזווית $ECB$, לפי פיתגורס):

למשולשים $AEK$ ו־$AEB$ יש גובה משותף מהקודקוד $A$ לישר $EB$, ולכן היחס בין השטחים שווה ליחס בין הבסיסים:

תשובה: $EK\approx 5.571$

הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה־$x$, ולכן $y=0$. נציב במשוואת המעגל:

לכן $x-5=8$ או $x-5=-8$, כלומר $x=13$ או $x=-3$.

$A$ נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־$x$, ולכן $x=13$.

תשובה: $A(13,0)$

מרכז המעגל $M(5,6)$. $AB$ קוטר, ולכן $M$ היא אמצע $AB$. נסמן $B(x_B,y_B)$:

כלומר $B(-3,12)$. שיפוע הרדיוס $MB$:

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן:

תשובה: $y=\frac{4}{3}x+16$

$C$ היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־$x$. נציב $y=0$:

כלומר $C(-12,0)$. שתי הנקודות $A$ ו־$C$ נמצאות על ציר ה־$x$, ולכן:

תשובה: $AC=25$

$\sphericalangle ADB$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AB$, ולכן $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה).

תשובה: זווית היקפית הנשענת על קוטר.

נתבונן במשולשים $ABC$ ו־$ADB$:

1. $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$ (המשיק $BC$ מאונך לרדיוס $MB$ בנקודת ההשקה, והרדיוס $MB$ מונח על $AB$).

2. $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$ (סעיף ד (1)).

מכאן $\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADB$.

3. $\sphericalangle BAC=\sphericalangle DAB$ ($AB$ חוצה את הזווית $DAC$).

לכן $△ABC\sim △ADB$ (לפי משפט הדמיון ז.ז.).

תשובה: $△ABC\sim △ADB$ (ז.ז.)

לפי הדמיון (סעיף ד (2)) – $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$ – הצלע $AC$ במשולש $ABC$ מתאימה לצלע $AB$ במשולש $ADB$ (שתיהן מול הזווית הישרה).

$AB$ הוא קוטר, ורדיוס המעגל הוא $R=\sqrt{100}=10$, לכן $AB=20$. יחס הדמיון:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

תשובה: פי $\frac{25}{16}$ (פי 1.5625).

נתבונן במשולשים $AEP$ ו־$CBP$:

1. $AE$ מקביל לציר ה־$y$ ו־$EP$ (הישר $CP$) מקביל לציר ה־$x$, והצירים מאונכים זה לזה. לכן $AE\perp EP$, כלומר $\sphericalangle AEP=90^{\circ }$.

2. $\sphericalangle CBP=90^{\circ }$ (נתון: $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$).

מכאן $\sphericalangle AEP=\sphericalangle CBP$.

3. $\sphericalangle APE=\sphericalangle CPB$ (זוויות קודקודיות).

לכן $△AEP\sim △CBP$ (לפי משפט הדמיון ז.ז.).

תשובה: $△AEP\sim △CBP$ (ז.ז.)

לפי הדמיון: $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow B$, $P\leftrightarrow P$. הצלע $AP$ (מול הזווית הישרה במשולש $AEP$) מתאימה לצלע $CP$ (מול הזווית הישרה במשולש $CBP$):

תשובה: $AP=7.5$

$P$ נמצאת על ציר ה־$y$, ולכן $x_P=0$. $E$ נמצאת מתחת ל־$A$ (על ישר מקביל לציר ה־$y$), ולכן $x_E=-6$. מכאן:

במשולש ישר הזווית $AEP$, לפי משפט פיתגורס:

שיעור ה־$y$ של $P$ קטן מ־14, ולכן $y_P=14-4.5=9.5$, כלומר $P(0,9.5)$.

$C$ נמצאת על הישר $CP$ המקביל לציר ה־$x$, ולכן $y_C=9.5$, ו־$CP=12.5$ (ו־$C$ מימין ל־$P$):

תשובה: $P(0,9.5)$, $C(12.5,9.5)$

הישר $AB$ עובר דרך $A(-6,14)$ ו־$P(0,9.5)$:

$P$ היא נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$, ולכן:

תשובה: $y=-0.75x+9.5$

$CB\perp AB$, ולכן:

הישר $CB$ עובר דרך $C(12.5,9.5)$:

$B$ היא נקודת החיתוך של $AB$ ו־$CB$:

תשובה: $B(8,3.5)$

האלכסון $EC$ מחלק את המרובע $AEBC$ לשני משולשים: $AEC$ (מעל $EC$) ו־$EBC$ (מתחת ל־$EC$). $EC$ מקביל לציר ה־$x$:

הגובה מ־$A$ ל־$EC$ הוא $AE=4.5$, והגובה מ־$B$ ל־$EC$ הוא ההפרש בשיעורי ה־$y$: $9.5-3.5=6$.

תשובה: $S_{AEBC}=97.125$

מרכז המעגל $M(-5,0)$, והנקודה $C(-15,0)$ נמצאת על המעגל. הרדיוס:

תשובה: $(x+5{)}^2+y^2=100$

$A$ ו־$B$ הן נקודות החיתוך של הישר $y=2x$ עם המעגל. נציב:

$x=3\Rightarrow y=6$, ו־$x=-5\Rightarrow y=-10$. לפי הסרטוט $A$ ברביע הראשון ו־$B$ ברביע השלישי.

תשובה: $A(3,6)$, $B(-5,-10)$

הזווית $ACO$: נוריד אנך מ־$A$ לציר ה־$x$; רגלו בנקודה $(3,0)$. נקבל משולש ישר זווית שהניצב הנגדי לזווית $C$ הוא $y_A=6$, והניצב הצמוד הוא $3-(-15)=18$:

(אפשר גם: שיפוע $AC$ הוא $m=\frac{6-0}{3-(-15)}=\frac{1}{3}$, ו־$\tan \alpha =m$.)

הזווית $AOC$: שיפוע הישר $OA$ הוא 2, ולכן הזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר ה־$x$ מקיימת $\tan \alpha =2$, כלומר $\alpha \approx 63.43^{\circ }$. הזווית $AOC$ צמודה לה (C על החלק השלילי של ציר ה־$x$):

תשובה: $\sphericalangle ACO\approx 18.43^{\circ }$, $\sphericalangle AOC\approx 116.57^{\circ }$

הקטע $CO$ (על ציר ה־$x$) מחלק את המשולש $ABC$ לשני משולשים, $AOC$ ו־$BOC$, עם בסיס משותף $CO=15$.

הגובה מ־$A$ לציר ה־$x$ הוא $|y_A|=6$, והגובה מ־$B$ הוא $|y_B|=10$:

תשובה: $S_{ABC}=120$

למשולשים $EAB$ ו־$CAB$ יש גובה משותף מהקודקוד $B$ לישר $AC$, ולכן היחס בין השטחים שווה ליחס בין הבסיסים:

אורך $AC$:

תשובה: $AE\approx 10.12$

$D$ על ציר ה־$y$, ולכן $D(0,y)$. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

לכן $9-y=3$ או $9-y=-3$, כלומר $y=6$ או $y=12$. שיעור ה־$y$ של $D$ קטן מ־9, ולכן $y=6$.

תשובה: $D(0,6)$

בדלתון, האלכסון הראשי $AC$ (המחבר את הקודקודים שבין הצלעות השוות) הוא האנך האמצעי של האלכסון $BD$. לכן $BD\perp AC$.

הישר $BD$ עובר דרך $D(0,6)$ (נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$):

תשובה: $y=x+6$

משוואת הישר $AC$: שיפוע $-1$, דרך $A(1,9)$:

$E$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו־$BD$:

תשובה: $E(2,8)$

נתבונן במשולשים $ABF$ ו־$ADF$:

1. $AB=AD$ (נתון – צלעות הדלתון).

2. $AF=AF$ (צלע משותפת).

3. $F$ נמצאת על האלכסון $AC$, שהוא האנך האמצעי של $BD$ (תכונת האלכסון הראשי בדלתון). כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע, ולכן $FB=FD$.

לכן $△ABF\cong △ADF$ (לפי משפט החפיפה צ.צ.צ.).

תשובה: $△ABF\cong △ADF$ (צ.צ.צ.)

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה. במרובע $FBAD$ האלכסונים הם $AF$ ו־$BD$, והם נחתכים בנקודה $E$ (שניהם על הישרים $AC$ ו־$BD$). $E$ היא אמצע $BD$ (כי $AC$ הוא האנך האמצעי של $BD$), ונדרוש שתהיה גם אמצע $AF$. נסמן $F(x,y)$:

המרובע $FBAD$ הוא מקבילית שאלכסוניה מאונכים ($AF\perp BD$), ולכן הוא מעוין. $F(3,7)$ אכן נמצאת על הקטע $EC$ (בין $x=2$ ל־$x=6$ על הישר $y=-x+10$).

תשובה: $F(3,7)$

נמצא את $B$: $E$ היא אמצע $BD$, ולכן $B=(2\cdot 2-0,2\cdot 8-6)=(4,10)$.

טענה I:

לכן $AB\perp BC$, כלומר $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$, והמשולש $ABC$ ישר זווית. הטענה נכונה.

טענה II: המשולשים $ABC$ ו־$ADC$ חופפים (צ.צ.צ.: $AB=AD$, $CB=CD$, $AC$ משותפת), ולכן $\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC=90^{\circ }$. סכום הזוויות הנגדיות $B$ ו־$D$ בדלתון הוא $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$, ולכן הדלתון בר חסימה במעגל. הטענה נכונה.

תשובה: I נכונה, II נכונה.

המעגל עובר דרך $O(0,0)$, ולכן הרדיוס הוא המרחק $MO$: