מצגת הסבר – גאומטרייה אנליטית

12 שקפים · שיפוע, משוואת ישר, אמצע ואורך קטע, מעגל ומשיק

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

גאומטרייה אנליטית

מצגת הסבר – ישרים, מרחקים ומעגל

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו בדרך כלל שאלות 4–5. כמעט תמיד צריך:

שיפוע ומשוואת ישר
ישרים מקבילים ומאונכים
אמצע קטע ואורך קטע
נקודת חיתוך של שני ישרים
משוואת מעגל ומשיק למעגל

ולפעמים בסוף גם זווית, שטח או דמיון משולשים.

מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

רעיונות מרכזיים

נקודה על ישר / על מעגל

מציבים את שיעורי הנקודה במשוואה.

נקודה על ציר ה־ $x$ ← מציבים $y = 0$

נקודה על ציר ה־ $y$ ← מציבים $x = 0$

נקודת חיתוך

משווים את שתי המשוואות ( $y = y$ ), מוצאים $x$ ואז $y$ .

מקבילים ומאונכים

מאונכים: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

לזכור (לא בנוסחאון): מקבילים – שיפועים שווים.

משיק למעגל

לזכור (לא בנוסחאון): המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

ולכן שיפוע המשיק מתקבל מ־ $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · גאומטרייה

שיפוע הישר דרך $(x_{1}, y_{1})$ ו־ $(x_{2}, y_{2})$	$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
משוואת ישר ששיפועו $m$ , דרך $(x_{1}, y_{1})$	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
אמצע הקטע $A B$	$x_{M} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y_{M} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2}$
המרחק בין $A$ ל־ $B$	$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
ישרים מאונכים	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
מעגל שמרכזו $(a, b)$ ורדיוסו $R$	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
הזווית החדה בין $y = m x + b$ לציר ה־ $x$	$tan α = m$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – מה מבקשים ומה עושים

מבקשים	עושים
משוואת ישר	שיפוע (משתי נקודות, או מקביל / מאונך) + נקודה ← $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
נקודת חיתוך	משווים את שני הישרים
קודקוד חסר במקבילית / קוטר	אמצע קטע – משוואה לכל שיעור
אורך צלע / רדיוס	נוסחת המרחק
משוואת מעגל	מרכז + רדיוס (מרחק מהמרכז לנקודה על המעגל)
משיק בנקודה $A$	שיפוע הרדיוס ← שיפוע מאונך ← ישר דרך $A$
זווית במשולש ישר זווית	אורכי צלעות + $sin$ / $cos$ / $tan$

תמיד לסמן את הנתונים על הסרטוט – הוא מראה איזו נקודה על איזה ציר.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – ישר ומעגל (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

מרכז המעגל $M$ על ציר ה־ $x$ . הנקודה $A$ על המעגל, והמשך $M A$ חותך את ציר ה־ $y$ ב־ $B$ .

נתון: $A (- 16, 6), B (0, 18)$

א1

משוואת הישר $A B$ :

m = \frac{18 - 6}{0 - ( - 16 )} = \frac{12}{16} = 0.75

y = 0.75 x + 18

א2

משוואת המעגל.

$M$ על הישר וגם על ציר ה־ $x$ , ולכן נציב בישר $y = 0$ :

0 = 0.75 x + 18 \Rightarrow M (- 24, 0)

R^{2} = (- 16 + 24)^{2} + 6^{2} = 100

$(x + 24)^{2} + y^{2} = 100$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – משיק וקוטר (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

המשיק בנקודה $A$ חותך את ציר ה־ $y$ ב־ $D$ . מצאו את $D$ .

המשיק מאונך לרדיוס $M A$ , ששיפועו $\frac{3}{4}$ :

\frac{3}{4} \cdot m = - 1 \Rightarrow m = - \frac{4}{3}

y - 6 = - \frac{4}{3} (x + 16)

על ציר ה־ $y$ : נציב $x = 0$

y = 6 - \frac{64}{3} = - 15 \frac{1}{3}

$D (0, - 15 \frac{1}{3})$

$A C$ קוטר. הראו כי $B D = C D$ .

$M$ אמצע הקוטר $A C$ :

\frac{- 16 + x _{C}}{2} = - 24 \Rightarrow x_{C} = - 32

\frac{6 + y _{C}}{2} = 0 \Rightarrow y_{C} = - 6

B D = 18 + 15 \frac{1}{3} = 33 \frac{1}{3}

C D = 3 2^{2} + (- 15 \frac{1}{3} + 6)^{2} = \frac{10000}{9} = 33 \frac{1}{3}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – זווית ושטח (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

חשבו את הזווית $A B D$ .

משיק מאונך לרדיוס ← $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ .

A B = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 20

cos ∠ A B D = \frac{A B}{B D} = \frac{20}{33 \frac{1}{3}} = 0.6

$∠ A B D \approx 53.1 3^{\circ}$

$K$ על $C D$ , ושטח המשולש $M C K$ הוא 90. מצאו את $C K$ .

במשולש שווה השוקיים $B C D$ זוויות הבסיס שוות, ולכן:

∠ M C K = ∠ A B D, M C = R = 10

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot C K \cdot sin 53.1 3^{\circ} = 4 \cdot C K

4 \cdot C K = 90 \Rightarrow C K = 22.5

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – ישר מאונך וחיתוך (א, ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

טרפז $A B C D$ שבו $A D ∥ B C$ .
הקודקוד $B$ על החלק השלילי של ציר ה־ $x$ .
נתון: $A (0, 4), A B = 5, ∠ A B C = 9 0^{\circ}$
משוואת האלכסון $A C$ היא $y = - \frac{1}{3} x + 4$

(b - 0)^{2} + (0 - 4)^{2} = 5 \Rightarrow b^{2} = 9

$B$ בחלק השלילי ← $B (- 3, 0)$

$B C ⊥ A B$ :

m_{A B} = \frac{4 - 0}{0 + 3} = \frac{4}{3} \Rightarrow m_{B C} = - \frac{3}{4}

y = - \frac{3}{4} (x + 3) = - \frac{3}{4} x - \frac{9}{4}

את $C$ מוצאים בהשוואת שני הישרים:

- \frac{3}{4} x - \frac{9}{4} = - \frac{1}{3} x + 4 \Rightarrow x = - 15

C (- 15, 9), B C = 1 2^{2} + 9^{2} = 15

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – דמיון ויחס שטחים (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

האלכסונים נחתכים ב־ $M$ , ונתון $A D = 3$ .

הוכיחו: $△ D M A \sim △ B M C$

$∠ D A M = ∠ B C M$ – זוויות מתחלפות ( $A D ∥ B C$ ).
$∠ A M D = ∠ C M B$ – זוויות קודקודיות.

לכן המשולשים דומים (ז.ז.).

פי כמה שטח $B M C$ גדול משטח $D M A$ ?

k = \frac{B C}{A D} = \frac{15}{3} = 5

לזכור (לא בנוסחאון): יחס השטחים של משולשים דומים = $k^{2}$ .

\frac{S _{B M C}}{S _{D M A}} = 5^{2} = 25

פי 25

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בשיפוע – אותו סדר במונה ובמכנה: $y_{2} - y_{1}$ עם $x_{2} - x_{1}$ .
שיפוע מאונך: הופכים וגם משנים סימן ( $\frac{3}{4} \to - \frac{4}{3}$ ).
במשוואת מעגל הסימן מתהפך:
$M (- 24, 0) \Rightarrow (x + 24)^{2}$

$R^{2}$ ולא $R$ באגף ימין.
משתי תשובות – בוחרים לפי הנתון (רביע, חלק שלילי של ציר).
„הראו כי” – מחשבים את שני הצדדים עד הסוף.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 12

בס״דגאומטרייה אנליטית · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

נתון: $A (1, 2), B (5, 10)$

מצאו את שיפוע $A B$ ואת משוואת הישר.
מצאו את אמצע הקטע $A B$ ואת אורכו.
מהו שיפוע ישר המאונך ל־ $A B$ ?
כתבו את משוואת המעגל שקוטרו $A B$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$m = \frac{10 - 2}{5 - 1} = 2$
$y - 2 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2x$
אמצע: $(3, 6)$
$d = 4^{2} + 8^{2} = 80 \approx 8.94$
$2 \cdot m = - 1 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}$
המרכז: $(3, 6)$
$R^{2} = (1 - 3)^{2} + (2 - 6)^{2} = 20$
$(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = 20$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 12

› לכל המצגות