בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳

במשולש $ABD$ הבסיס $BD$ מונח על ציר ה־$x$, והגובה אליו הוא $AO$ (כי $AO$ על ציר ה־$y$, מאונך ל־$BD$). $A(0,6)$, ולכן $AO=6$.

תשובה: $BD=15$

נתון $AO=OD$, ולכן $OD=6$. $D$ נמצאת על החלק השלילי של ציר ה־$x$: $D(-6,0)$.

$BD=15$, ולכן $OB=15-6=9$ ו־$B(9,0)$.

תשובה: $D(-6,0)$, $B(9,0)$

$CD\parallel AB$, ולכן השיפועים שווים:

הישר $CD$ עובר דרך $D(-6,0)$:

תשובה: $y=-\frac{2}{3}x-4$

$C$ נמצאת על ציר ה־$y$ ועל הישר $CD$: $y=-\frac{2}{3}\cdot 0-4=-4$, כלומר $C(0,-4)$.

במשולש ישר הזווית $OBC$ ($\angle BOC=90^{\circ }$): $OC=4$, $OB=9$.

תשובה: $\angle OBC\approx 23.96^{\circ }$

במשולש ישר הזווית $ABO$: $AO=6$, $OB=9$.

תשובה: $\angle ABC\approx 57.65^{\circ }$

$DC\parallel AB$ ו־$E$ על המשך $BC$, ולכן $\angle DCE=\angle ABC\approx 57.65^{\circ }$ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

$DE=DC$, ולכן המשולש $CDE$ שווה שוקיים ו־$\angle DEC=\angle DCE\approx 57.65^{\circ }$ (זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים). מכאן:

אורך $DC$ (במשולש ישר הזווית $DOC$, לפי משפט פיתגורס):

לפי משפט הסינוסים במשולש $CDE$:

היקף המשולש:

תשובה: $P_{CDE}\approx 22.14$

במשולשים $ABC$ ו־$DCA$:

1. $\angle ABC=90^{\circ }$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר – $AC$ קוטר).

2. $\angle DCA=90^{\circ }$ (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: המעגל משיק לציר ה־$y$ ב־$C$, ו־$MC$ מונח על $CA$).

מכאן $\angle ABC=\angle DCA$.

3. $\angle BAC=\angle ADC$ (נתון).

לכן $△ABC\sim △DCA$ (לפי משפט הדמיון ז.ז). ההתאמה: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$.

תשובה: הוכחה.

מהדמיון בסעיף א, גם הזוויות השלישיות שוות: $\angle BCA=\angle DAC$ (סכום הזוויות בכל משולש הוא $180^{\circ }$, ושני זוגות של זוויות כבר שווים).

הזוויות $\angle BCA$ ו־$\angle DAC$ הן זוויות מתחלפות בין הישרים $BC$ ו־$AD$ והחותך $AC$. זוויות מתחלפות שוות, ולכן $BC\parallel AD$.

תשובה: כן, $BC\parallel AD$ (זוויות מתחלפות שוות).

$\angle ABC=90^{\circ }$, כלומר $AB\perp BC$. שיפוע $BC$:

הישר $AB$ עובר דרך $B(-2,0)$:

תשובה: $y=-\frac{1}{2}x-1$

$AC\perp$ ציר ה־$y$ (רדיוס מאונך למשיק), ולכן $AC$ אופקי: $y=4$ (כמו $C$). $A$ נמצאת על $AB$ ועל $y=4$:

תשובה: $A(-10,4)$

מרכז המעגל $M$ הוא אמצע הקוטר $AC$:

הרדיוס: $R=MC=0-(-5)=5$ (הקטע $MC$ אופקי).

תשובה: $(x+5{)}^2+(y-4{)}^2=25$

לפי ההתאמה בסעיף א: $\frac{AB}{DC}=\frac{BC}{CA}=\frac{AC}{DA}$.

תשובה: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (כלומר $1:\sqrt{5}$)

המרובע $ABCD$ מורכב מהמשולשים $ABC$ ו־$DCA$.

שטח $ABC$: הבסיס $AC=10$ אופקי, והגובה מ־$B$ אליו הוא הפרש שיעורי ה־$y$: $4-0=4$.

שטח $DCA$: היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(בדיקה: $AD\parallel BC$, כלומר $AD$: $y=2x+24$, ולכן $D(0,24)$ ו־$S_{DCA}=\frac{10\cdot 20}{2}=100$ ✓.)

תשובה: $S_{ABCD}=120$