חקירת פונקציות ואינטגרלים

המכנה אינו יכול להיות אפס:

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=\pm 3$.

תחום ההגדרה סימטרי ביחס ל־0, ולכל $x$ בתחום:

לכן $f(x)$ פונקציה זוגית.

תשובה: $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ בתחום – הפונקציה זוגית.

הנקודה $(\sqrt{3},0)$ על הגרף, ולכן $f(\sqrt{3})=0$:

תשובה: $a=2$

עם $a=2$: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+2=\frac{4x^2+2x^2-18}{x^2-9}=\frac{6x^2-18}{x^2-9}$.

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $6x^2-18=0\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$.

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $f(0)=\frac{0}{-9}+2=2$.

תשובה: $(\sqrt{3},0)$, $(-\sqrt{3},0)$, $(0,2)$

נגזור (נגזרת של מנה):

תשובה: $\max (0,2)$

לפי טבלת הסימנים של $f^{\prime }(x)$ (המכנה $(x^2-9{)}^2$ תמיד חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי $-72x$):

תשובה: עלייה: $x<-3$ וגם $-3<x<0$. ירידה: $0<x<3$ וגם $x>3$.

אסימפטוטות אנכיות – איפוס המכנה (המונה $6x^2-18$ שונה מאפס שם): $x=3,x=-3$.

אסימפטוטה אופקית – המונה והמכנה מאותה מעלה, ולכן $y$ שווה למנת המקדמים של $x^2$:

תשובה: $x=3$, $x=-3$, $y=6$

לפי כל מה שמצאנו (חיתוכים, מקסימום ב־$(0,2)$, אסימפטוטות $x=\pm 3$ ו־$y=6$, וסימטריה ביחס לציר ה־$y$):

תשובה: ראו סקיצה.

הגרף של $g(x)=f(x-7)$ מתקבל מהגרף של $f(x)$ בהזזה של 7 יחידות ימינה. לכן האסימפטוטות האנכיות זזות ימינה ב־7, והאסימפטוטה האופקית לא משתנה:

תשובה: $x=4$, $x=10$, $y=6$

לא. תחום ההגדרה של $g(x)$ הוא כל $x$ פרט ל־$x=4$ ו־$x=10$ – הוא אינו סימטרי ביחס ל־0: למשל $g(4)$ לא מוגדר, אבל $g(-4)=f(-11)$ מוגדר. לכן לא ייתכן ש־$g(-x)=g(x)$ לכל $x$.

(גם בגרף: ציר הסימטריה של $g$ הוא הישר $x=7$, ולא ציר ה־$y$.)

תשובה: לא – תחום ההגדרה אינו סימטרי (ציר הסימטריה הוא $x=7$).

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\ge 3.2$

נציב $y=0$:

נעלה בריבוע (שני האגפים אי־שליליים בתחום):

$x=16$ או $x=4$. בדיקה: $f(4)=8-4\sqrt{4}=0$ ✓, $f(16)=32-4\sqrt{64}=0$ ✓.

תשובה: $(4,0)$, $(16,0)$

נגזור:

(למשל $f^{\prime }(4)=2-\frac{10}{2}=-3<0$ ו־$f^{\prime }(13)=2-\frac{10}{7}>0$.)

בקצה התחום: $f(3.2)=6.4-4\cdot 0=6.4$, והפונקציה יורדת מיד אחריו – זו נקודת מקסימום (קצה).

תשובה: $\min (8.2,-3.6)$, $\max (3.2,6.4)$ (נקודת קצה).

תשובה: ראו סקיצה.

מתכונות $f^{\prime }(x)=2-\frac{10}{\sqrt{5x-16}}$:

• $f^{\prime }(x)<0$ ב־$3.2<x<8.2$ ו־$f^{\prime }(x)>0$ ב־$x>8.2$: הגרף חותך את ציר ה־$x$ בנקודה אחת ועובר משלילי לחיובי.
• כאשר $x$ מתקרב ל־3.2 מימין, $\frac{10}{\sqrt{5x-16}}$ גדל מאוד ולכן $f^{\prime }(x)\to -\infty$.
• הפונקציה $f^{\prime }(x)$ עולה (ככל ש־$x$ גדל, $\frac{10}{\sqrt{5x-16}}$ קטן).

רק גרף I מתאים לכל התכונות האלה.

תשובה: גרף I.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$. בין $x=4$ ל־$x=8.2$ הגרף של $f^{\prime }$ מתחת לציר ה־$x$, ובין $8.2$ ל־$13$ מעליו – לכן מחשבים כל חלק בנפרד:

$f(4)=0,f(8.2)=-3.6,f(13)=26-4\sqrt{49}=-2$

תשובה: $S=5.2$ יח״ר

כאשר $x\to \pm \infty$, המעלה של המונה $72-18x$ (מעלה 1) קטנה מהמעלה של המכנה $x^2+9$ (מעלה 2), ולכן השבר שואף ל־0:

תשובה: $y=-1$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=\frac{72}{9}-1=8-1=7$.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(0,7)$, $(3,0)$, $(-21,0)$

נגזור (נגזרת של מנה; הנגזרת של $-1$ היא 0):

תשובה: $\max (-1,8)$, $\min (9,-2)$

לפי טבלת הסימנים בסעיף ג (1) (המכנה $(x^2+9{)}^2$ תמיד חיובי):

תשובה: עלייה: $x<-1$ וגם $x>9$. ירידה: $-1<x<9$.

תשובה: ראו סקיצה.

$g(x)=|f(x)|$. כאשר $x\to \pm \infty$, $f(x)\to -1$, ולכן $g(x)\to |-1|=1$.

תשובה: $y=1$

תכונות של $g(x)=|f(x)|$:

• $g(x)\ge 0$, והגרף נוגע בציר ה־$x$ בנקודות האפס של $f$: $x=-21$ ו־$x=3$.
• האסימפטוטה האופקית היא $y=1$ (קו מקווקו מעל ציר ה־$x$) – לכן גרפים I ו־II, שבהם הגרף מתקרב לציר ה־$x$, נפסלים.
• נקודת המקסימום $(-1,8)$ של $f$ נשארת מקסימום של $g$, והיא נמצאת משמאל לציר ה־$y$ – לכן גרף III (שבו הפסגה מימין לציר ה־$y$) נפסל.

תשובה: גרף IV.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\ge 2$

הנקודה $(5,9)$ על הגרף, ולכן $f(5)=9$:

תשובה: $a=8$

$f(x)=(8-x)\sqrt{3x-6}$. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס:

תשובה: $(2,0)$, $(8,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

בקצה התחום $f(2)=0$ והפונקציה עולה מיד אחריו – נקודת מינימום (קצה).

תשובה: $\min (2,0)$, $\max (4,4\sqrt{6})$

תשובה: ראו סקיצה.

מתכונות $f^{\prime }(x)=\frac{36-9x}{2\sqrt{3x-6}}$:

• כאשר $x$ מתקרב ל־2 מימין, המכנה שואף ל־0 והמונה חיובי, ולכן $f^{\prime }(x)\to +\infty$.
• $f^{\prime }(x)>0$ ב־$2<x<4$, $f^{\prime }(4)=0$, ו־$f^{\prime }(x)<0$ ב־$x>4$.
• $f^{\prime }(x)$ יורדת לאורך כל התחום.

רק גרף I מתאים.

תשובה: גרף I.

השטח המוגבל בין גרף $f^{\prime }(x)$, ציר ה־$x$ והישר $x=20$ נמצא בין $x=4$ ל־$x=20$, מתחת לציר ה־$x$:

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: $S=40\sqrt{6}\approx 97.98$ יח״ר

נגזור: $f(x)=a(x-4{)}^{-2}$, ולכן

שיפוע המשיק בנקודה $x=6$ הוא $-3$:

תשובה: $a=12$

$f(x)=\frac{12}{(x-4{)}^2}$.

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=\frac{12}{16}=0.75$.

חיתוך עם ציר ה־$x$: המונה 12 אינו מתאפס, ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: $(0,0.75)$; אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=4$ (והמונה לא).

אופקית: מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן $y=0$.

תשובה: $x=4$, $y=0$

תשובה: עלייה: $x<4$. ירידה: $x>4$.

תשובה: ראו סקיצה.

מתכונות $f^{\prime }(x)=\frac{-24}{(x-4{)}^3}$:

• ב־$x<4$: $f^{\prime }(x)>0$, וכאשר $x$ מתקרב ל־4 משמאל $f^{\prime }(x)\to +\infty$.
• ב־$x>4$: $f^{\prime }(x)<0$, וכאשר $x$ מתקרב ל־4 מימין $f^{\prime }(x)\to -\infty$.
• כאשר $x\to \pm \infty$, $f^{\prime }(x)\to 0$.

הגרף המתאים הוא גרף III.

תשובה: גרף III.

בתחום $0\le x\le 3$ מתקיים $f^{\prime }(x)>0$ (הגרף מעל ציר ה־$x$). $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: $S=11.25$ יח״ר

$g(x)=f^{\prime }(x)+2$, ובתחום $0\le x\le 3$ גם $g(x)>0$. השטח המבוקש:

כלומר השטח גדול ב־6 מן השטח שבסעיף ד (2): הגרף של $g$ הוא הגרף של $f^{\prime }$ מוזז 2 יחידות למעלה, ונוסף מלבן ברוחב 3 ובגובה 2.

תשובה: ב־6 יח״ר (השטח הוא 17.25).

תשובה: $x\le 7$

$x^2\cdot \sqrt{7-x}=0$ כאשר $x^2=0$ או $\sqrt{7-x}=0$:

תשובה: $(0,0)$, $(7,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

תשובה: $\min (0,0)$, $\max (5.6,37.11)$, $\min (7,0)$ (קצה).

תשובה: ראו סקיצה.

הגרף של $g(x)=f(x+a)$ מתקבל מהגרף של $f(x)$ בהזזה אופקית: $|a|$ יחידות שמאלה אם $a>0$, ימינה אם $a<0$. נקודת המקסימום הפנימית של $f$ היא ב־$x=5.6$, ולכן של $g$ היא ב־$x=5.6-a$:

(הגרף הוזז 3 יחידות ימינה: $g(x)=f(x-3)$.)

תשובה: $a=-3$

$g(x)=f(x-3)=(x-3{)}^2\sqrt{7-(x-3)}=(x-3{)}^2\sqrt{10-x}$:

תשובה: $x\le 10$

תשובה: $x\ne -3$

אנכית: $x=-3$ (המכנה מתאפס, והמונה $9\cdot (-3)\ne 0$).

אופקית: מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן $y=0$.

תשובה: $x=-3$, $y=0$

$f(0)=0$, ו־$f(x)=0$ רק כאשר $9x=0$, כלומר $x=0$.

תשובה: $(0,0)$

לפי נגזרת של מנה:

תשובה: $\max \left(3,\frac{3}{4}\right)$

תשובה: ראו סקיצה.

לפי הסקיצה: משמאל לאסימפטוטה $x=-3$ כל ערכי הפונקציה שליליים, ומימין לה הפונקציה מגיעה לכל היותר ל־$\frac{3}{4}$ (בנקודת המקסימום).

ישר אופקי $y=k$ עם $k>0$ חותך את הגרף בנקודה אחת בלבד רק כאשר הוא משיק לגרף בנקודת המקסימום. (עבור $0<k<\frac{3}{4}$ יש שתי נקודות חיתוך, ועבור $k>\frac{3}{4}$ אין בכלל.)

תשובה: $k=\frac{3}{4}$

הגרף של $g(x)=f(x)+1$ הוא הגרף של $f$ מוזז יחידה אחת למעלה. האסימפטוטה האנכית לא משתנה, והאופקית עולה ב־1.

תשובה: $x=-3$, $y=1$

$g(x)=\frac{3}{4}⟺f(x)+1=\frac{3}{4}⟺f(x)=-\frac{1}{4}$.

לפי הסקיצה, הישר $y=-\frac{1}{4}$ חותך את הגרף של $f$ פעמיים: פעם משמאל ל־$x=-3$ (שם $f$ יורדת מ־0 ל־$-\infty$) ופעם בין $-3$ ל־$0$ (שם $f$ עולה מ־$-\infty$ ל־0).

בדיקה אלגברית: $\frac{9x}{(x+3{)}^2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow x^2+42x+9=0\Rightarrow x\approx -41.78,x\approx -0.22$.

תשובה: 2 נקודות משותפות.

ל־$f(x)$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות, ולכן $f^{\prime }(x)$ מתאפסת בדיוק פעמיים ומחליפה סימן בכל אחת מהן.

• גרף (1) חותך את ציר ה־$x$ פעם אחת בלבד – נקודת קיצון אחת.
• גרף (2) חותך את ציר ה־$x$ שלוש פעמים – שלוש נקודות קיצון.
• גרף (3) חותך את ציר ה־$x$ פעמיים, ומחליף סימן בכל חיתוך.

תשובה: גרף (3).

עם ציר ה־$y$: $f(0)=1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$.

עם ציר ה־$x$: $x^2+1>0$ תמיד, ולכן $f(x)=0$ רק כאשר $\sqrt{3-2x}=0$, כלומר $x=1.5$.

תשובה: $(0,\sqrt{3})$, $(1.5,0)$

לפי כלל המכפלה:

תשובה: $\min (0.2,1.68)$, $\max (1,2)$, $\min (1.5,0)$ (קצה).

מהטבלה שבסעיף ג (1).

תשובה: עלייה: $0.2<x<1$. ירידה: $x<0.2$ וגם $1<x<1.5$.

תשובה: ראו סקיצה.

גרף הנגזרת וציר ה־$x$ סוגרים שטח בין נקודות האפס של הנגזרת, $x=0.2$ ו־$x=1$, ושם $f^{\prime }(x)>0$:

תשובה: $S\approx 0.323$ יח״ר

בביטוי $\frac{x^2-9}{x^2+1}$ החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה ($x^2$), והמקדמים שלה הם 1 ו־1. לכן כאשר $x\to \pm \infty$ השבר שואף ל־$\frac{1}{1}=1$, והפונקציה שואפת ל־$1+1=2$.

(אפשר גם לכנס למכנה משותף: $f(x)=\frac{x^2-9+x^2+1}{x^2+1}=\frac{2x^2-8}{x^2+1}$, והיחס בין המקדמים הוא $\frac{2}{1}=2$.)

תשובה: $y=2$

נגזור לפי כלל הנגזרת של מנה (הנגזרת של הקבוע 1 היא 0):

נשווה את הנגזרת לאפס:

המכנה $(x^2+1{)}^2$ תמיד חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $20x$:

תשובה: $(0,-8)$ – נקודת מינימום.

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב (1):

עלייה: $x>0$. ירידה: $x<0$.

תשובה: עלייה: $x>0$, ירידה: $x<0$.

נציב $f(x)=0$:

לכן $x=2$ או $x=-2$.

תשובה: $(2,0)$, $(-2,0)$

נסמן את האסימפטוטה $y=2$, את נקודת המינימום $(0,-8)$ ואת נקודות החיתוך $(\pm 2,0)$. הפונקציה יורדת עד $x=0$ ועולה אחריו, ומתקרבת ל־$y=2$ מלמטה משני הצדדים.

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

לפי סעיף ב: $f^{\prime }(x)<0$ בעבור $x<0$, $f^{\prime }(0)=0$, ו־$f^{\prime }(x)>0$ בעבור $x>0$. כלומר גרף הנגזרת נמצא מתחת לציר ה־$x$ משמאל לראשית, עובר דרך הראשית, ונמצא מעל ציר ה־$x$ מימין לראשית.

גרף II הפוך בסימנים (חיובי משמאל ושלילי מימין). בגרפים III ו־IV הגרף אינו עובר דרך הראשית (מתאפס במקום אחר). לכן רק גרף I מתאים.

תשובה: גרף I

בתחום $-2\le x\le 0$ הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובתחום $0\le x\le 2$ היא חיובית. פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, ולכן:

תשובה: $S=16$

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\le 15$

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($f(x)=0$): מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.

$3x-9=0\Rightarrow x=3$, או $\sqrt{15-x}=0\Rightarrow x=15$. שני הערכים בתחום ההגדרה.

תשובה: $(0,-9\sqrt{15})$, $(3,0)$, $(15,0)$

נגזור לפי כלל הנגזרת של מכפלה:

(הנגזרת מוגדרת בעבור $x<15$.) נשווה לאפס:

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ נקבע לפי $99-9x$:

הנקודה $(11,48)$ היא מקסימום. הפונקציה יורדת עד קצה תחום ההגדרה $x=15$, ולכן $(15,0)$ היא נקודת מינימום (קיצון בקצה התחום).

תשובה: מקסימום $(11,48)$, מינימום (קצה) $(15,0)$

נסמן את נקודות החיתוך ואת נקודות הקיצון. הפונקציה עולה עד $x=11$ ויורדת עד $x=15$, שם הגרף נגמר.

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

הגרף של $g(x)=f(x+6)$ הוא הגרף של $f(x)$ מוזז 6 יחידות שמאלה. לכן:

• נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$ זזות ל־$x=3-6=-3$ ו־$x=15-6=9$ (הגרף נגמר ב־$x=9$).

• החיתוך עם ציר ה־$y$: $g(0)=f(6)=(18-9)\cdot \sqrt{9}=27>0$.

גרף שנגמר מימין, שעובר את ציר ה־$x$ משמאל לציר ה־$y$ וחותך את ציר ה־$y$ מעל ציר ה־$x$, עם מקסימום מימין לציר ה־$y$ – זה גרף III. (בגרף I החיתוך עם ציר ה־$y$ שלילי, כמו ב־$f(x)$ עצמה; גרפים II ו־IV הם בעלי מינימום ולא מקסימום.)

תשובה: גרף III

ההזזה שמאלה ב־6 לא משנה את ערכי ה־$y$, רק מזיזה את ערכי ה־$x$ ב־6. המקסימום של $f(x)$ ב־$(11,48)$ עובר ל־$(11-6,48)$:

בדיקה: $g(5)=f(11)=48$.

תשובה: $(5,48)$ – מקסימום

המכנה אינו יכול להיות אפס: $x\ne 0$.

תשובה: $x\ne 0$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=0$, ובנקודה זו המונה שווה ל־$a\ne 0$ (לא מתאפס). לכן $x=0$ היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית: החזקה הגבוהה במונה ($x^2$) גדולה מהחזקה הגבוהה במכנה ($x$), ולכן כאשר $x\to \pm \infty$ הפונקציה אינה שואפת למספר – אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=0$ בלבד.

נציב את הנקודה $(2,7.5)$:

תשובה: $a=9$

כעת $f(x)=\frac{x^2+x+9}{x}$. נגזור לפי כלל הנגזרת של מנה:

נשווה לאפס: $x^2-9=0$, ולכן $x=3$ או $x=-3$.

המכנה $x^2$ חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $x^2-9$: