בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳

כאשר $x\to \pm \infty$, המעלה של המונה $72-18x$ (מעלה 1) קטנה מהמעלה של המכנה $x^2+9$ (מעלה 2), ולכן השבר שואף ל־0:

תשובה: $y=-1$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=\frac{72}{9}-1=8-1=7$.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(0,7)$, $(3,0)$, $(-21,0)$

נגזור (נגזרת של מנה; הנגזרת של $-1$ היא 0):

תשובה: $\max (-1,8)$, $\min (9,-2)$

לפי טבלת הסימנים בסעיף ג (1) (המכנה $(x^2+9{)}^2$ תמיד חיובי):

תשובה: עלייה: $x<-1$ וגם $x>9$. ירידה: $-1<x<9$.

תשובה: ראו סקיצה.

$g(x)=|f(x)|$. כאשר $x\to \pm \infty$, $f(x)\to -1$, ולכן $g(x)\to |-1|=1$.

תשובה: $y=1$

תכונות של $g(x)=|f(x)|$:

• $g(x)\ge 0$, והגרף נוגע בציר ה־$x$ בנקודות האפס של $f$: $x=-21$ ו־$x=3$.
• האסימפטוטה האופקית היא $y=1$ (קו מקווקו מעל ציר ה־$x$) – לכן גרפים I ו־II, שבהם הגרף מתקרב לציר ה־$x$, נפסלים.
• נקודת המקסימום $(-1,8)$ של $f$ נשארת מקסימום של $g$, והיא נמצאת משמאל לציר ה־$y$ – לכן גרף III (שבו הפסגה מימין לציר ה־$y$) נפסל.

תשובה: גרף IV.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\ge 2$

הנקודה $(5,9)$ על הגרף, ולכן $f(5)=9$:

תשובה: $a=8$

$f(x)=(8-x)\sqrt{3x-6}$. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס:

תשובה: $(2,0)$, $(8,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

בקצה התחום $f(2)=0$ והפונקציה עולה מיד אחריו – נקודת מינימום (קצה).

תשובה: $\min (2,0)$, $\max (4,4\sqrt{6})$

תשובה: ראו סקיצה.

מתכונות $f^{\prime }(x)=\frac{36-9x}{2\sqrt{3x-6}}$:

• כאשר $x$ מתקרב ל־2 מימין, המכנה שואף ל־0 והמונה חיובי, ולכן $f^{\prime }(x)\to +\infty$.
• $f^{\prime }(x)>0$ ב־$2<x<4$, $f^{\prime }(4)=0$, ו־$f^{\prime }(x)<0$ ב־$x>4$.
• $f^{\prime }(x)$ יורדת לאורך כל התחום.

רק גרף I מתאים.

תשובה: גרף I.

השטח המוגבל בין גרף $f^{\prime }(x)$, ציר ה־$x$ והישר $x=20$ נמצא בין $x=4$ ל־$x=20$, מתחת לציר ה־$x$:

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: $S=40\sqrt{6}\approx 97.98$ יח״ר