בעיות קיצון

$AB=x$ ו־$EG=2x$. כל הקטעים על הישר $AG$ שאורכו 8 מטרים:

(כדי שהאורך יהיה חיובי: $0<x<\frac{8}{3}$.)

תשובה: $BE=8-3x$

שטח המלבן $ABCD$ הוא $AB\cdot AD=1$:

תשובה: $AD=\frac{1}{x}$

במלבן $BEFC$ הרוחב הוא $BC=AD=\frac{1}{x}$. נחבר את שטחי שלושת החלקים:

תשובה: $S(x)=4x^2+\frac{8}{x}-2$

נגזור ונשווה לאפס:

(למשל $S^{\prime }(0.5)=4-32<0$, $S^{\prime }(2)=16-2>0$.) לכן השטח מינימלי בעבור $x=1$.

תשובה: $x=1$ מטר.

השטח המינימלי (בעבור $x=1$) הוא:

זה הערך הקטן ביותר האפשרי של השטח הכולל, ו־$9<10$. לכן השטח הכולל לא יכול להיות 9 מ״ר.

תשובה: לא – השטח המינימלי הוא 10 מ״ר.

היקף המלבן $ABCD$ הוא 32 מטרים:

תשובה: $AD=16-x$

תשובה: $S_{ABCD}=16x-x^2$

$BF=x+2$ ו־$GF=7$, ולכן $S_{BFGH}=7(x+2)=7x+14$. היחס:

תשובה: $\frac{16x-x^2}{7x+14}$

נסמן $f(x)=\frac{16x-x^2}{7x+14}$, בתחום $0<x<16$. נגזור (נגזרת של מנה):

($x=-8$ נפסל כי $x>0$.)

היחס מקסימלי בעבור $x=4$ (ואז היחס הוא $\frac{48}{42}=\frac{8}{7}$).

תשובה: $x=4$ מטרים.

תשובה: $x\ne 8$

אנכית: $x=8$ (המכנה מתאפס, והמונה $6\cdot 8-12=36\ne 0$).

אופקית: המונה והמכנה מאותה מעלה, ולכן $y=\frac{6}{1}=6$.

תשובה: $x=8$, $y=6$

תשובה: $A(2,0)$

$C\left(t,\frac{6t-12}{t-8}\right)$ עם $t>8$, ו־$B(t,0)$. צלעות המלבן:

תשובה: $P(t)=\frac{2t^2-8t+8}{t-8}$

נגזור $P(t)=2t-4+\frac{12t-24}{t-8}$:

תשובה: $t=14$

ההיקף המינימלי:

כאשר $t$ מתקרב ל־8 מימין או גדל מאוד, ההיקף גדל ללא גבול. לכן ההיקף מקבל כל ערך שגדול מ־48 (או שווה לו), ובפרט גם את הערך 50.

תשובה: כן – ההיקף המינימלי הוא 48, ו־$50>48$.

$A$ על הגרף ושיעור ה־$x$ שלה הוא $t$, ולכן $B(t,0)$ ו־$OB=t$. נתון $OB=2\cdot BC$, ולכן $BC=\frac{t}{2}$:

תשובה: $OC=1.5t$

$AB$ הוא הגובה לצלע $OC$ במשולש $AOC$, ואורכו שיעור ה־$y$ של $A$: $AB=\frac{t-3}{t-4}$ (חיובי בתחום $t>4$).

תשובה: $S(t)=\frac{3t^2-9t}{4t-16}$

נגזור לפי נגזרת של מנה:

$S^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=2$ או $t=6$. בתחום $t>4$ רק $t=6$.

(השטח המינימלי: $S(6)=\frac{3\cdot 36-54}{8}=6.75$.)

תשובה: $t=6$

נגזור את $f(x)=\frac{a}{x-2}$ ($a$ קבוע):

הנקודה $A$ נמצאת על ציר ה־$y$, ולכן $x_A=0$. שיפוע המשיק בנקודה $A$ הוא $f^{\prime }(0)$, ונתון שהוא $-1.5$:

תשובה: $a=6$

כעת $f(x)=\frac{6}{x-2}$. שיעורי הנקודה $A$:

המשיק עובר דרך $A(0,-3)$ ושיפועו $-1.5$:

תשובה: $y=-1.5x-3$

$B$ על גרף הפונקצייה ו־$x_B=t$ (כאשר $t>2$), לכן $B\left(t,\frac{6}{t-2}\right)$.

$BC$ מקביל לציר ה־$y$, ולכן גם $x_C=t$. $C$ על המשיק, לכן $C(t,-1.5t-3)$.

$B$ נמצאת מעל $C$ (לפי הסרטוט), ולכן אורך הקטע הוא ההפרש בין שיעורי ה־$y$:

תשובה: $BC=\frac{6}{t-2}+1.5t+3$

נסמן $g(t)=\frac{6}{t-2}+1.5t+3$ בתחום $t>2$, ונגזור:

נשווה לאפס:

לכן $t-2=2$ או $t-2=-2$, כלומר $t=4$ או $t=0$. בתחום $t>2$ רק $t=4$ מתאים.

נבדוק את סוג הקיצון בטבלה (למשל $g^{\prime }(3)=-6+1.5<0$, $g^{\prime }(6)=-\frac{6}{16}+1.5>0$):

לכן בעבור $t=4$ אורך הקטע $BC$ מינימלי (ואז $BC=\frac{6}{2}+6+3=12$).

תשובה: $t=4$

המכנה אינו יכול להיות אפס: $x-4\ne 0$.

תשובה: $x\ne 4$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=4$, והמונה שם שווה ל־$6\ne 0$, ולכן $x=4$.

אסימפטוטה אופקית: החזקות הגבוהות במונה ובמכנה שוות ($x$), והיחס בין המקדמים שלהן הוא $\frac{1}{1}=1$, ולכן $y=1$.

תשובה: $x=4$, $y=1$

נציב $f(x)=0$: שבר שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס (והמכנה לא):

תשובה: $B(-2,0)$

נסמן את שיעור ה־$x$ של $A$ ב־$t$. $A$ ברביע הראשון על הענף הימני של הגרף, ולכן $t>4$, ו־$A\left(t,\frac{t+2}{t-4}\right)$, $C(t,0)$.

המשולש $ABC$ ישר זווית ב־$C$ ($AC$ מקביל לציר ה־$y$ ו־$BC$ על ציר ה־$x$):

נגזור לפי כלל הנגזרת של מנה:

נשווה לאפס: $t=10$ או $t=-2$ (נפסל, כי $t>4$).

תשובה: $A(10,2)$

(בדיקה: $BC=12$, $AC=2$, $\frac{12\cdot 2}{2}=12$.)

תשובה: השטח המינימלי הוא 12.

$A$: נציב $f(x)=0$:

$C$: $C$ על גרף הפונקציה ו־$x_C=t$, לכן $C\left(t,3-\frac{6}{t}\right)$.

$D$: $D$ על האנך לציר ה־$x$ דרך $B(8,0)$, כלומר $x_D=8$, ו־$CD$ מקביל לציר ה־$x$, כלומר $y_D=y_C$:

תשובה: $A(2,0)$, $C\left(t,3-\frac{6}{t}\right)$, $D\left(8,3-\frac{6}{t}\right)$

במשולש $ACD$ נבחר את $CD$ כבסיס (מקביל לציר ה־$x$). הגובה מ־$A$ (שעל ציר ה־$x$) לבסיס הוא שיעור ה־$y$ של $C$:

נגזור ונשווה לאפס:

($t=-4$ נפסל, כי $2<t<8$.)

(השטח המקסימלי: $S(4)=15-6-6=3$.)

תשובה: $C(4,1.5)$

לפי סעיף ב, השטח המקסימלי הוא $S(4)=3$. כאשר $t$ מתקרב ל־2 (הגובה שואף ל־0) או ל־8 (הבסיס שואף ל־0), השטח מתקרב ל־0. הפונקציה $S(t)$ רציפה, ולכן היא מקבלת כל ערך בין 0 ל־3 – גם את הערך 1.

בדיקה:

$t\approx 2.26$ או $t\approx 7.07$ – שני הערכים בתחום $2<t<8$.

תשובה: כן (למשל בעבור $t\approx 2.26$ או $t\approx 7.07$).

$B$ על גרף הפונקציה ו־$x_B=t$:

$BC$ מקביל לציר ה־$x$, ולכן ל־$C$ אותו שיעור $y$. הפונקציה זוגית ($f(-x)=f(x)$, כי $(-x{)}^2=x^2$), ולפי הסרטוט $C$ על הענף השמאלי, ולכן $x_C=-t$:

תשובה: $B\left(t,\frac{48}{t^2}+1\right)$, $C\left(-t,\frac{48}{t^2}+1\right)$

בסיס המשולש: $BC=t-(-t)=2t$. הגובה מ־$A(0,-2)$ לבסיס $BC$ (ישר אופקי) הוא ההפרש בשיעורי ה־$y$:

נגזור ונשווה לאפס:

($t=-4$ נפסל, כי $t>0$.)

תשובה: $t=4$

בעבור $t=4$: $y_B=\frac{48}{16}+1=4$, כלומר $B(4,4)$, $C(-4,4)$, $A(0,-2)$.

המשולש שווה שוקיים ($A$ על ציר ה־$y$, ו־$B$, $C$ סימטריות לו), ולכן $AC=AB=\sqrt{52}$:

תשובה: $8+2\sqrt{52}\approx 22.42$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס כאשר $1-x=0$, כלומר $x=1$ (והמונה 9 אינו מתאפס), ולכן $x=1$.

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to \pm \infty$, השבר $\frac{9}{1-x}$ שואף ל־0, ולכן $f(x)\to 0+2=2$, כלומר $y=2$.

תשובה: $x=1$, $y=2$

נסמן את הנקודה $A\left(x,\frac{9}{1-x}+2\right)$. היא ברביע השני, ולכן $x<0$.

צלעות המלבן הן המרחקים מ־$A$ לאסימפטוטות:

הצלע האופקית (מ־$A$ עד הישר $x=1$): $1-x$ (כי $x<1$).

הצלע האנכית (מ־$A$ עד הישר $y=2$): $\left(\frac{9}{1-x}+2\right)-2=\frac{9}{1-x}$.

היקף המלבן:

נגזור (הנגזרת של $\frac{18}{1-x}$ היא $\frac{18}{(1-x{)}^2}$):

או

$x=4$ נפסל (צריך $x<0$), ולכן $x=-2$. בדיקת סוג הקיצון:

שיעור ה־$y$ של $A$:

תשובה: $A(-2,5)$

בעבור $A(-2,5)$ צלעות המלבן הן:

(המלבן שהתקבל הוא ריבוע.)

תשובה: $9$ יחידות שטח.

$MA=x$ ו־$MC=2MA=2x$, ולכן $AC=MC+MA=3x$.

במשולש ישר הזווית $ABC$ הניצבים הם $AC$ ו־$BC$:

תשובה: $BC=\frac{48}{x}$

נבטא כל אחד מהמחוברים באמצעות $x$:

$M{A}^2=x^2$, $M{C}^2=(2x{)}^2=4x^2$.

במשולש ישר הזווית $MCB$ ($\angle C=90^{\circ }$), לפי משפט פיתגורס:

לכן הסכום הוא:

נגזור:

תשובה: $x=4$

הערך המינימלי של הסכום מתקבל ב־$x=4$:

הפונקציה $f(x)$ יורדת בתחום $0<x<4$ ועולה בתחום $x>4$, וכאשר $x$ מתקרב ל־0 או גדל מאוד, $f(x)$ גדלה מאוד. לכן $f(x)$ מקבלת כל ערך שגדול מ־288 – ובפרט את הערך 300 (שהוא גדול מ־288).

(בדיקה: $9x^2+\frac{2304}{x^2}=300$ מתקיים בעבור $x=2\sqrt{3}\approx 3.46$ ובעבור $x=\frac{8\sqrt{3}}{3}\approx 4.62$.)

תשובה: כן, ייתכן – כי 300 גדול מהערך המינימלי 288.

$ABED$ הוא מלבן ($AB\parallel DE$, ו־$AD$, $BE$ מאונכים לבסיסים), ולכן $DE=AB=x$ (צלעות נגדיות במלבן שוות).

הגובה $BE$ חוצה את $DC$, ולכן $EC=DE=x$ ו־$DC=2x$.

נסמן ב־$h$ את גובה הטרפז ונציב בנוסחת שטח טרפז:

תשובה: $h=BE=\frac{8\sqrt{2}}{x}$

$AD=BE=h$ (צלעות נגדיות במלבן), ולכן:

במשולש ישר הזווית $BEC$, לפי משפט פיתגורס:

סכום ריבועי השוקיים:

נגזור:

תשובה: $x=4$

הסכום המינימלי מתקבל ב־$x=4$:

זהו הערך הקטן ביותר שהסכום יכול לקבל, כלומר תמיד $A{D}^2+B{C}^2\ge 32$. המספר 30 קטן מ־32, ולכן הסכום לא יכול להיות 30.

תשובה: לא ייתכן – הסכום המינימלי הוא 32, ו־$30<32$.

הנקודה A על גרף הפונקציה: $A(t,t^2+3)$. A ברביע הראשון ומשמאל לישר $x=5$, ולכן $0<t<5$.

B על הישר $x=5$ ובגובה של A: $B(5,t^2+3)$. לכן $D(t,0)$ ו־$C(5,0)$.

צלעות המלבן:

פונקציית השטח:

$S^{\prime }(t)=0$:

$t=3$ או $t=\frac{1}{3}$

ב־$t=3$ השטח מקסימלי:

תשובה: $t=3$ (השטח המקסימלי 24)

לפי טבלת סעיף א, השטח המקסימלי בתחום $0<t<5$ הוא $S(3)=24$ (בקצוות: $S(0)=15$ ו־$S(5)=0$, שניהם קטנים מ־24).

לכן כל מלבן שנבנה באופן המתואר הוא בעל שטח של 24 לכל היותר, ולא ייתכן מלבן ששטחו 30.

תשובה: לא – השטח המקסימלי הוא 24 < 30.