בגרות חורף תשפ״ו (2026)

נגזור: $f(x)=a(x-4{)}^{-2}$, ולכן

שיפוע המשיק בנקודה $x=6$ הוא $-3$:

תשובה: $a=12$

$f(x)=\frac{12}{(x-4{)}^2}$.

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=\frac{12}{16}=0.75$.

חיתוך עם ציר ה־$x$: המונה 12 אינו מתאפס, ולכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: $(0,0.75)$; אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=4$ (והמונה לא).

אופקית: מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן $y=0$.

תשובה: $x=4$, $y=0$

תשובה: עלייה: $x<4$. ירידה: $x>4$.

תשובה: ראו סקיצה.

מתכונות $f^{\prime }(x)=\frac{-24}{(x-4{)}^3}$:

• ב־$x<4$: $f^{\prime }(x)>0$, וכאשר $x$ מתקרב ל־4 משמאל $f^{\prime }(x)\to +\infty$.
• ב־$x>4$: $f^{\prime }(x)<0$, וכאשר $x$ מתקרב ל־4 מימין $f^{\prime }(x)\to -\infty$.
• כאשר $x\to \pm \infty$, $f^{\prime }(x)\to 0$.

הגרף המתאים הוא גרף III.

תשובה: גרף III.

בתחום $0\le x\le 3$ מתקיים $f^{\prime }(x)>0$ (הגרף מעל ציר ה־$x$). $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: $S=11.25$ יח״ר

$g(x)=f^{\prime }(x)+2$, ובתחום $0\le x\le 3$ גם $g(x)>0$. השטח המבוקש:

כלומר השטח גדול ב־6 מן השטח שבסעיף ד (2): הגרף של $g$ הוא הגרף של $f^{\prime }$ מוזז 2 יחידות למעלה, ונוסף מלבן ברוחב 3 ובגובה 2.

תשובה: ב־6 יח״ר (השטח הוא 17.25).

תשובה: $x\le 7$

$x^2\cdot \sqrt{7-x}=0$ כאשר $x^2=0$ או $\sqrt{7-x}=0$:

תשובה: $(0,0)$, $(7,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

תשובה: $\min (0,0)$, $\max (5.6,37.11)$, $\min (7,0)$ (קצה).

תשובה: ראו סקיצה.

הגרף של $g(x)=f(x+a)$ מתקבל מהגרף של $f(x)$ בהזזה אופקית: $|a|$ יחידות שמאלה אם $a>0$, ימינה אם $a<0$. נקודת המקסימום הפנימית של $f$ היא ב־$x=5.6$, ולכן של $g$ היא ב־$x=5.6-a$:

(הגרף הוזז 3 יחידות ימינה: $g(x)=f(x-3)$.)

תשובה: $a=-3$

$g(x)=f(x-3)=(x-3{)}^2\sqrt{7-(x-3)}=(x-3{)}^2\sqrt{10-x}$:

תשובה: $x\le 10$