בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳

$D$ על ציר ה־$y$, ולכן $D(0,y)$. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:

לכן $9-y=3$ או $9-y=-3$, כלומר $y=6$ או $y=12$. שיעור ה־$y$ של $D$ קטן מ־9, ולכן $y=6$.

תשובה: $D(0,6)$

בדלתון, האלכסון הראשי $AC$ (המחבר את הקודקודים שבין הצלעות השוות) הוא האנך האמצעי של האלכסון $BD$. לכן $BD\perp AC$.

הישר $BD$ עובר דרך $D(0,6)$ (נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$):

תשובה: $y=x+6$

משוואת הישר $AC$: שיפוע $-1$, דרך $A(1,9)$:

$E$ היא נקודת החיתוך של $AC$ ו־$BD$:

תשובה: $E(2,8)$

נתבונן במשולשים $ABF$ ו־$ADF$:

1. $AB=AD$ (נתון – צלעות הדלתון).

2. $AF=AF$ (צלע משותפת).

3. $F$ נמצאת על האלכסון $AC$, שהוא האנך האמצעי של $BD$ (תכונת האלכסון הראשי בדלתון). כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע, ולכן $FB=FD$.

לכן $△ABF\cong △ADF$ (לפי משפט החפיפה צ.צ.צ.).

תשובה: $△ABF\cong △ADF$ (צ.צ.צ.)

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה. במרובע $FBAD$ האלכסונים הם $AF$ ו־$BD$, והם נחתכים בנקודה $E$ (שניהם על הישרים $AC$ ו־$BD$). $E$ היא אמצע $BD$ (כי $AC$ הוא האנך האמצעי של $BD$), ונדרוש שתהיה גם אמצע $AF$. נסמן $F(x,y)$:

המרובע $FBAD$ הוא מקבילית שאלכסוניה מאונכים ($AF\perp BD$), ולכן הוא מעוין. $F(3,7)$ אכן נמצאת על הקטע $EC$ (בין $x=2$ ל־$x=6$ על הישר $y=-x+10$).

תשובה: $F(3,7)$

נמצא את $B$: $E$ היא אמצע $BD$, ולכן $B=(2\cdot 2-0,2\cdot 8-6)=(4,10)$.

טענה I:

לכן $AB\perp BC$, כלומר $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$, והמשולש $ABC$ ישר זווית. הטענה נכונה.

טענה II: המשולשים $ABC$ ו־$ADC$ חופפים (צ.צ.צ.: $AB=AD$, $CB=CD$, $AC$ משותפת), ולכן $\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC=90^{\circ }$. סכום הזוויות הנגדיות $B$ ו־$D$ בדלתון הוא $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$, ולכן הדלתון בר חסימה במעגל. הטענה נכונה.

תשובה: I נכונה, II נכונה.

המעגל עובר דרך $O(0,0)$, ולכן הרדיוס הוא המרחק $MO$:

תשובה: $(x-4{)}^2+(y-8{)}^2=80$

נציב $x=0$ במשוואת המעגל:

לכן $y-8=8$ או $y-8=-8$, כלומר $y=16$ או $y=0$. הנקודה $y=0$ היא הראשית $O$, ולכן $A(0,16)$.

תשובה: $A(0,16)$

$AB$ מקביל לציר ה־$x$, ולכן $y_B=16$. נציב במשוואת המעגל:

$x=8$ או $x=0$ (זו הנקודה $A$), ולכן $B(8,16)$.

הישר $BC$: שיפוע 1, דרך $B(8,16)$:

תשובה: $y=x+8$

נציב $y=x+8$ במשוואת המעגל:

$x=8$ היא הנקודה $B$, ולכן $x=-4$, $y=-4+8=4$.

תשובה: $C(-4,4)$

נמצא את זוויות השיפוע של הישרים $CA$ ו־$CB$ (הזווית $\alpha$ שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה־$x$ מקיימת $\tan \alpha =m$):

במשולש שהישרים $CA$ ו־$CB$ יוצרים עם ציר ה־$x$, זווית השיפוע של $CA$ היא זווית חיצונית. לפי משפט הזווית החיצונית (זווית חיצונית במשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה), הזווית $ACB$ שווה להפרש בין זוויות השיפוע:

תשובה: $\sphericalangle ACB\approx 26.57^{\circ }$

$E$ אמצע $BC$:

במשולש $AEC$ הזווית שמול הצלע $AE$ היא $\sphericalangle ACE=\sphericalangle ACB\approx 26.57^{\circ }$ ($E$ על $BC$). לפי משפט הסינוסים:

(הערך המדויק: $R=5\sqrt{2}$.)

תשובה: $R=5\sqrt{2}\approx 7.07$