בגרות חורף תשפ״ה (2025)

המכנה אינו יכול להיות אפס: $x\ne 0$.

תשובה: $x\ne 0$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=0$, ובנקודה זו המונה שווה ל־$a\ne 0$ (לא מתאפס). לכן $x=0$ היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית: החזקה הגבוהה במונה ($x^2$) גדולה מהחזקה הגבוהה במכנה ($x$), ולכן כאשר $x\to \pm \infty$ הפונקציה אינה שואפת למספר – אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=0$ בלבד.

נציב את הנקודה $(2,7.5)$:

תשובה: $a=9$

כעת $f(x)=\frac{x^2+x+9}{x}$. נגזור לפי כלל הנגזרת של מנה:

נשווה לאפס: $x^2-9=0$, ולכן $x=3$ או $x=-3$.

המכנה $x^2$ חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $x^2-9$:

תשובה: מקסימום $(-3,-5)$, מינימום $(3,7)$

נסמן את האסימפטוטה $x=0$, את המקסימום $(-3,-5)$ ואת המינימום $(3,7)$. לגרף אין נקודות חיתוך עם הצירים (המונה $x^2+x+9$ תמיד חיובי, כי הדיסקרימיננטה $1-36<0$, ו־$x\ne 0$).

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

$g^{\prime }(x)=f(x)-11$, כלומר הגרף של $g^{\prime }(x)$ הוא הגרף של $f(x)$ מוזז 11 יחידות למטה:

• המקסימום עובר ל־$(-3,-5-11)=(-3,-16)$ והמינימום ל־$(3,7-11)=(3,-4)$.

• האסימפטוטה $x=0$ נשארת.

• נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=11$:

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

נקודות הקיצון של $g(x)$ הן הנקודות שבהן $g^{\prime }(x)$ מתאפסת ומחליפה סימן. לפי הגרף של $g^{\prime }(x)$:

(בתחום $x<0$ הנגזרת שלילית תמיד – הערך הגבוה ביותר שלה שם הוא $-16$ – ולכן אין שם קיצון.)

תשובה: מקסימום ב־$x=1$, מינימום ב־$x=9$

ל־$f(x)$ יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, והיא מקסימום. לכן משמאל לנקודה זו הפונקציה עולה ($f^{\prime }(x)>0$) ומימינה יורדת ($f^{\prime }(x)<0$): גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ פעם אחת ועובר מחיובי לשלילי.

בגרף I הערכים חיוביים משמאל ושליליים מימין, ואילו בגרף II הערכים שליליים משמאל וחיוביים מימין (זה מתאים למינימום). לכן גרף I מתאר את $f^{\prime }(x)$.

תשובה: גרף I

$f(x)=4x+2\sqrt{8-4x}$. נגזור (נגזרת של שורש: ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$):

נשווה לאפס:

(למשל $f^{\prime }(0)=4-\frac{4}{\sqrt{8}}>0$, $f^{\prime }(1.96)=4-\frac{4}{0.4}<0$.) בקצה התחום: $f(2)=8+2\cdot 0=8$.

תשובה: מקסימום $(1.75,9)$, מינימום (קצה) $(2,8)$

נציב $f(x)=0$:

(שורש אינו שלילי, ולכן נדרש $-2x\ge 0$, כלומר $x\le 0$ – מתאים לנתון שהחיתוך בחלק השלילי.) נעלה בריבוע:

$x=1$ נפסל ($x\le 0$), ונשאר $x=-2$. בדיקה: $f(-2)=-8+2\sqrt{16}=0$ ✓

תשובה: $(-2,0)$

נסמן את נקודת החיתוך $(-2,0)$, את החיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\approx 5.66$, את המקסימום $(1.75,9)$ ואת נקודת הקצה $(2,8)$.

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

$g(x)=-3f^{\prime }(x)$ מתאפסת כאשר $f^{\prime }(x)=0$, כלומר ב־$x=1.75$. בתחום $0\le x\le 1.75$ מתקיים $f^{\prime }(x)>0$, ולכן $g(x)<0$ – השטח נמצא מתחת לציר ה־$x$.

פונקציה קדומה של $g(x)=-3f^{\prime }(x)$ היא $-3f(x)$:

תשובה: $S=27-12\sqrt{2}\approx 10.03$