בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳

המכנה אינו יכול להיות אפס: $x^2-9\ne 0$, כלומר $x\ne 3$ ו־$x\ne -3$.

תשובה: $x\ne \pm 3$

אנכיות: המכנה מתאפס ב־$x=\pm 3$, והמונה $2x^2$ שם שווה ל־$18\ne 0$. לכן $x=3$ ו־$x=-3$.

אופקית: בשבר $\frac{2x^2}{x^2-9}$ החזקות הגבוהות שוות, והיחס בין המקדמים הוא $\frac{2}{1}=2$. לכן כאשר $x\to \pm \infty$: $f(x)\to 2+4=6$, כלומר $y=6$.

תשובה: $x=3$, $x=-3$, $y=6$

נשווה לאפס: $-36x=0\Rightarrow x=0$, ו־$f(0)=0+4=4$.

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הפוך לסימן של $x$:

תשובה: מקסימום $(0,4)$

ציר ה־$y$: $f(0)=4$ – הנקודה $(0,4)$.

ציר ה־$x$:

$x=\sqrt{6}\approx 2.45$ או $x=-\sqrt{6}\approx -2.45$.

תשובה: $(0,4)$, $(\sqrt{6},0)$, $(-\sqrt{6},0)$

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

לפי סעיף ב:

• $f^{\prime }(0)=0$ – גרף הנגזרת עובר דרך ראשית הצירים.

• בענף האמצעי ($-3<x<3$) הנגזרת חיובית משמאל לראשית ושלילית מימינה – הענף יורד דרך הראשית.

• בעבור $x<-3$ הנגזרת חיובית, ובעבור $x>3$ היא שלילית.

בגרף III הענף האמצעי חותך את ציר ה־$x$ מימין לראשית (לא בה). בגרפים I ו־II הענף האמצעי עולה (שלילי משמאל לראשית וחיובי מימינה). רק גרף IV מתאים לכל התכונות.

תשובה: גרף IV

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת. בתחום $x>3$ מתקיים $f^{\prime }(x)=\frac{-36x}{(x^2-9{)}^2}<0$ (המונה שלילי והמכנה חיובי). לכן שיפוע המשיק שלילי, וההיגד אינו נכון.

תשובה: לא נכון – בתחום זה $f^{\prime }(x)<0$.

בתחום $x<-3$: המונה $-36x>0$ (כי $x$ שלילי) והמכנה חיובי, ולכן $f^{\prime }(x)>0$ – שיפוע המשיק חיובי בכל נקודה. ההיגד נכון.

תשובה: נכון – בתחום זה $f^{\prime }(x)>0$.

הנקודה $(-10,0)$ על הגרף. נציב:

תשובה: $b=\frac{1}{2}$

$f(x)=\sqrt{5-2x}+\frac{1}{2}x$. הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\le 2.5$

תשובה: $(0,\sqrt{5})$

(מוגדרת בעבור $x<2.5$.) נשווה לאפס:

בקצה התחום: $f(2.5)=0+1.25=1.25$.

(למשל $f^{\prime }(-2)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}>0$, $f^{\prime }(2)=-1+\frac{1}{2}<0$.)

תשובה: מקסימום $(0.5,2.25)$, מינימום (קצה) $(2.5,1.25)$

נסמן את נקודת החיתוך עם ציר ה־$x$ $(-10,0)$ (מסעיף א), את $(0,\sqrt{5})$, את המקסימום $(0.5,2.25)$ ואת נקודת הקצה $(2.5,1.25)$:

תשובה: ראו סקיצה בפתרון המלא.

$g^{\prime }(x)=-f(x)$, ולכן $g^{\prime }(x)=0$ כאשר $f(x)=0$, כלומר רק ב־$x=-10$ (נקודת החיתוך היחידה של $f$ עם ציר ה־$x$).

לפי הסקיצה: בעבור $x<-10$ מתקיים $f(x)<0$, ולכן $g^{\prime }(x)>0$; בעבור $-10<x<2.5$ מתקיים $f(x)>0$, ולכן $g^{\prime }(x)<0$.

תשובה: $x=-10$ – נקודת מקסימום.