מצגת הסבר – בעיות קיצון

11 שקפים · בעיה גאומטרית ונקודה על גרף: פונקציית מטרה, נגזרת וטבלת סימנים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

בעיות קיצון

מצגת הסבר – מתי הכי גדול ומתי הכי קטן

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו בדרך כלל שאלה 8. שני סוגים:

בעיה גאומטרית: מלבנים, ריבועים, היקף ושטח
נקודה על גרף: משולש או מלבן שקודקוד שלו על גרף פונקציה

בשני המקרים: מבטאים את הגודל המבוקש בעזרת משתנה אחד, וגוזרים.

מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

רעיונות מרכזיים

פונקציה של משתנה אחד

כל אורך בסרטוט כותבים בעזרת משתנה אחד.

משתמשים בנתונים: אורך כולל, שטח נתון, נקודה על גרף.

תחום המשתנה

אורכים חיוביים, למשל:

0 < x < \frac{8}{3}

נקודה על הענף הימני ברביע הראשון, למשל: $t > 4$

קיצון

$S^{'} (x) = 0$ , ואז טבלת סימנים מראה אם זה מינימום או מקסימום.

מה שואלים?

„בעבור איזה $x$ ” ← התשובה היא $x$ .
„מהו השטח המינימלי” ← מציבים בחזרה.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · נגזרות

(x^{t})^{'} = t \cdot x^{t - 1}

(\frac{a}{x})^{'} = - \frac{a}{x ^{2}}

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

נוסחאון · נגזרת של מנה

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}

ושטחי צורות: משולש, מלבן ( $a \cdot b$ ), טרפז, עיגול.

שטח משולש ישר זווית = מכפלת הניצבים חלקי 2.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

מסמנים את המשתנה ( $x$ או $t$ ) וכותבים את התחום שלו.
מבטאים בעזרתו את כל האורכים הדרושים.
בונים את פונקציית המטרה: $S (x)$ , $P (t)$ …
גוזרים ומשווים לאפס. פוסלים פתרון מחוץ לתחום.
טבלת סימנים ← מינימום או מקסימום.
עונים בדיוק על מה ששאלו.

טבלת סימנים

$x$	$0 < x < 1$	1	$x > 1$
$S^{'}$	−	0	+
$S$	↘	min	↗

יורדת ואז עולה ← מינימום.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – בונים את הפונקציה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 8

מתחם: מבואה (מלבן $A B C D$ ), שביל (מלבן $B E F C$ ) וגן פסלים (ריבוע $E G H K$ ).
אורך הקטע $A G$ הוא 8 מטרים.
הצלע $E G$ גדולה פי 2 מהצלע $A B$ .
נסמן $A B = x$ . שטח המבואה 1 מ״ר.

x + B E + 2 x = 8 \Rightarrow B E = 8 - 3 x

ב1

x \cdot A D = 1 \Rightarrow A D = \frac{1}{x}

ב2

השטח הכולל = מבואה + שביל + ריבוע:

S (x) = 1 + (8 - 3 x) \cdot \frac{1}{x} + (2 x)^{2}

S (x) = 4 x^{2} + \frac{8}{x} - 2

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הקיצון (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 8

בעבור איזה $x$ השטח הכולל מינימלי?

S^{'} (x) = 8 x - \frac{8}{x ^{2}} = 0

8 x^{3} = 8 \Rightarrow x = 1

$x$	$0 < x < 1$	1	$1 < x < \frac{8}{3}$
$S^{'}$	−	0	+
$S$	↘	min	↗

$x = 1$ מטר

האם ייתכן שהשטח הכולל הוא 9 מ״ר?

S (1) = 4 + 8 - 2 = 10

השטח המינימלי הוא 10.

‏9 קטן מ־10 ← לא ייתכן.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – נקודה על גרף (ג)

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 8

נתונה הפונקציה:

f (x) = \frac{x + 2}{x - 4}

הגרף חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $B (- 2, 0)$ .
הנקודה $A$ על הענף הימני, ברביע הראשון. הנקודה $C$ על ציר ה־ $x$ , מתחת ל־ $A$ .
מצאו את $A$ שבעבורה שטח המשולש $A B C$ מינימלי.

נסמן את שיעור ה־ $x$ של $A$ ב־ $t$ (כאן $t > 4$ ):

A (t, \frac{t + 2}{t - 4})

B C = t + 2, A C = \frac{t + 2}{t - 4}

S (t) = \frac{B C \cdot A C}{2} = \frac{( t + 2 ) ^{2}}{2 ( t - 4 )}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – גזירה וטבלה (ג)

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 8

נגזרת של מנה:

S^{'} (t) = \frac{2 ( t + 2 ) \cdot 2 ( t - 4 ) - ( t + 2 ) ^{2} \cdot 2}{4 ( t - 4 ) ^{2}} = \frac{( t + 2 ) ( t - 10 )}{2 ( t - 4 ) ^{2}}

t_{1} = 10, t_{2} = - 2

הפתרון השלילי נפסל, כי $t > 4$ .

$t$	$4 < t < 10$	10	$t > 10$
$S^{'}$	−	0	+
$S$	↘	min	↗

y_{A} = \frac{10 + 2}{10 - 4} = 2

$A (10, 2)$

והשטח המינימלי:

S (10) = \frac{1 2 ^{2}}{2 \cdot 6} = 12

בדיקה: $\frac{12 \cdot 2}{2} = 12$ ✓

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

לכתוב את תחום המשתנה – ולפסול פתרונות מחוצה לו.
לבדוק בטבלת סימנים: מינימום או מקסימום?
פונקציית המטרה – במשתנה אחד בלבד.

נקודה על גרף: שיעור ה־ $y$ שלה הוא $f (t)$ .
„מהו השטח המינימלי” ← להציב את $x$ בחזרה.
„האם ייתכן…” ← להשוות לערך הקיצון ולנמק.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 11

בס״דבעיות קיצון · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

היקף מלבן 20 ס״מ. מה אורכי צלעותיו כשהשטח מקסימלי? מהו השטח?
מצאו את ערך $x > 0$ שבעבורו הביטוי $x + \frac{16}{x}$ מינימלי, ואת הערך המינימלי.
האם הביטוי בשאלה 2 יכול להיות 7?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$S (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$
$S^{'} (x) = 10 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 5$
הצלעות: 5 ס״מ ו־5 ס״מ (ריבוע)
השטח: $25$ סמ״ר
$f^{'} (x) = 1 - \frac{16}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 4$
$f (4) = 4 + 4 = 8$ (מינימום)
לא – הערך המינימלי הוא 8

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 11

› לכל המצגות