בגרות חורף תשפ״ב (2022)

המכנה אינו יכול להיות 0:

תשובה: $x\ne \pm \frac{1}{2}$

נגזור ($b$ קבוע, ולכן הנגזרת שלו 0):

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $-32x=0$, כלומר $x=0$:

המכנה של $f^{\prime }(x)$ תמיד חיובי, ולכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הפוך לסימן של $x$: משמאל ל־0 $f^{\prime }(x)>0$ ומימין ל־0 $f^{\prime }(x)<0$ – זו נקודת מקסימום.

תשובה: $(0,b-4)$ מקסימום

לפי סימן הנגזרת (שימו לב לנקודות $x=\pm \frac{1}{2}$ שאינן בתחום ההגדרה):

תשובה: עולה: $x<-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}<x<0$; יורדת: $0<x<\frac{1}{2}$, $x>\frac{1}{2}$

הישר $y=-2$ משיק לגרף בנקודת הקיצון, ולכן שיעור ה־$y$ של נקודת הקיצון הוא $-2$:

תשובה: $b=2$

$f(x)=\frac{4}{4x^2-1}+2$.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות $x=\pm \frac{1}{2}$ המכנה מתאפס והמונה (4) לא, ולכן $x=\frac{1}{2}$ ו־$x=-\frac{1}{2}$.

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to \pm \infty$ המכנה גדל מאוד, $\frac{4}{4x^2-1}\to 0$, ולכן $f(x)\to 2$: $y=2$.

תשובה: $x=\frac{1}{2}$, $x=-\frac{1}{2}$, $y=2$

נקודות עזר: חיתוך עם ציר ה־$y$ הוא נקודת המקסימום $(0,-2)$. חיתוך עם ציר ה־$x$: $\frac{4}{4x^2-1}=-2\Rightarrow 4x^2-1=-2\Rightarrow x^2=-\frac{1}{4}$ – אין פתרון, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

בשני הענפים החיצוניים הגרף מעל $y=2$ ושואף ל־$+\infty$ ליד האסימפטוטות; בענף האמצעי הגרף מתחת ל־$-2$, עם מקסימום ב־$(0,-2)$.

תשובה: ראו סקיצה.

לפי סעיף ב (2): עבור $x<0$ (בשני תחומי ההגדרה) $f^{\prime }(x)>0$ – גרף הנגזרת מעל ציר ה־$x$; עבור $x>0$ $f^{\prime }(x)<0$ – גרף הנגזרת מתחת לציר ה־$x$; ו־$f^{\prime }(0)=0$ – גרף הנגזרת עובר בראשית.

רק גרף II מתאים: משמאל לראשית הוא חיובי ומימין לה שלילי. (בגרף III הסימנים הפוכים, ובגרף I הגרף אינו מחליף סימן ב־$x=0$.)

תשובה: גרף II

השטח מוגבל בין $x=0$ (שם גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$) לבין $x=\frac{1}{3}$. בתחום זה $f^{\prime }(x)<0$ (הגרף מתחת לציר ה־$x$), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$:

תשובה: $S=3.2$

הביטוי שבתוך השורש אינו יכול להיות שלילי:

תשובה: $x\ge -18$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=0\cdot \sqrt{18}=0$, הנקודה $(0,0)$.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $x\sqrt{x+18}=0$, כלומר $x=0$ או $\sqrt{x+18}=0\Rightarrow x=-18$.

תשובה: $(0,0)$, $(-18,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה (${\left(\sqrt{x+18}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x+18}}$):

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $3x+36=0$, כלומר $x=-12$:

$x=-18$ הוא קצה תחום ההגדרה, ומימינו הפונקציה יורדת, ולכן $(-18,0)$ היא נקודת מקסימום קצה.

תשובה: $(-12,-12\sqrt{6})\approx (-12,-29.39)$ מינימום; $(-18,0)$ מקסימום (קצה)

הגרף מתחיל ב־$(-18,0)$, יורד עד המינימום $(-12,-12\sqrt{6})$ ואחר כך עולה, חותך את ציר ה־$x$ בראשית וממשיך לעלות.

תשובה: ראו סקיצה.

$g(x)=-2f(x)$: כל שיעור $y$ מוכפל ב־$-2$ (מתיחה פי 2 ושיקוף ביחס לציר ה־$x$). שיעורי ה־$x$ של נקודות הקיצון לא משתנים, וסוג הקיצון מתהפך:

(בדיקה: $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(x)$, ולכן גם $g^{\prime }(-12)=0$, והסימנים של $g^{\prime }$ הפוכים לאלה של $f^{\prime }$.)

תשובה: $(-12,24\sqrt{6})\approx (-12,58.79)$ מקסימום; $(-18,0)$ מינימום (קצה)

נקודות הקיצון הפנימיות: $A(-12,-12\sqrt{6})$ (של $f$) ו־$B(-12,24\sqrt{6})$ (של $g$).

ל־A ול־B אותו שיעור $x$, ולכן הצלע AB מקבילה לציר ה־$y$, ואורכה:

הגובה מ־O לצלע AB הוא המרחק של O מהישר $x=-12$, כלומר $h=12$.

תשובה: $216\sqrt{6}\approx 529.09$