בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳

המכנה אינו יכול להיות אפס:

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=\pm 3$.

תחום ההגדרה סימטרי ביחס ל־0, ולכל $x$ בתחום:

לכן $f(x)$ פונקציה זוגית.

תשובה: $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ בתחום – הפונקציה זוגית.

הנקודה $(\sqrt{3},0)$ על הגרף, ולכן $f(\sqrt{3})=0$:

תשובה: $a=2$

עם $a=2$: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+2=\frac{4x^2+2x^2-18}{x^2-9}=\frac{6x^2-18}{x^2-9}$.

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $6x^2-18=0\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$.

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$): $f(0)=\frac{0}{-9}+2=2$.

תשובה: $(\sqrt{3},0)$, $(-\sqrt{3},0)$, $(0,2)$

נגזור (נגזרת של מנה):

תשובה: $\max (0,2)$

לפי טבלת הסימנים של $f^{\prime }(x)$ (המכנה $(x^2-9{)}^2$ תמיד חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי $-72x$):

תשובה: עלייה: $x<-3$ וגם $-3<x<0$. ירידה: $0<x<3$ וגם $x>3$.

אסימפטוטות אנכיות – איפוס המכנה (המונה $6x^2-18$ שונה מאפס שם): $x=3,x=-3$.

אסימפטוטה אופקית – המונה והמכנה מאותה מעלה, ולכן $y$ שווה למנת המקדמים של $x^2$:

תשובה: $x=3$, $x=-3$, $y=6$

לפי כל מה שמצאנו (חיתוכים, מקסימום ב־$(0,2)$, אסימפטוטות $x=\pm 3$ ו־$y=6$, וסימטריה ביחס לציר ה־$y$):

תשובה: ראו סקיצה.

הגרף של $g(x)=f(x-7)$ מתקבל מהגרף של $f(x)$ בהזזה של 7 יחידות ימינה. לכן האסימפטוטות האנכיות זזות ימינה ב־7, והאסימפטוטה האופקית לא משתנה:

תשובה: $x=4$, $x=10$, $y=6$

לא. תחום ההגדרה של $g(x)$ הוא כל $x$ פרט ל־$x=4$ ו־$x=10$ – הוא אינו סימטרי ביחס ל־0: למשל $g(4)$ לא מוגדר, אבל $g(-4)=f(-11)$ מוגדר. לכן לא ייתכן ש־$g(-x)=g(x)$ לכל $x$.

(גם בגרף: ציר הסימטריה של $g$ הוא הישר $x=7$, ולא ציר ה־$y$.)

תשובה: לא – תחום ההגדרה אינו סימטרי (ציר הסימטריה הוא $x=7$).

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\ge 3.2$

נציב $y=0$:

נעלה בריבוע (שני האגפים אי־שליליים בתחום):

$x=16$ או $x=4$. בדיקה: $f(4)=8-4\sqrt{4}=0$ ✓, $f(16)=32-4\sqrt{64}=0$ ✓.

תשובה: $(4,0)$, $(16,0)$

נגזור:

(למשל $f^{\prime }(4)=2-\frac{10}{2}=-3<0$ ו־$f^{\prime }(13)=2-\frac{10}{7}>0$.)

בקצה התחום: $f(3.2)=6.4-4\cdot 0=6.4$, והפונקציה יורדת מיד אחריו – זו נקודת מקסימום (קצה).

תשובה: $\min (8.2,-3.6)$, $\max (3.2,6.4)$ (נקודת קצה).

תשובה: ראו סקיצה.

מתכונות $f^{\prime }(x)=2-\frac{10}{\sqrt{5x-16}}$:

• $f^{\prime }(x)<0$ ב־$3.2<x<8.2$ ו־$f^{\prime }(x)>0$ ב־$x>8.2$: הגרף חותך את ציר ה־$x$ בנקודה אחת ועובר משלילי לחיובי.
• כאשר $x$ מתקרב ל־3.2 מימין, $\frac{10}{\sqrt{5x-16}}$ גדל מאוד ולכן $f^{\prime }(x)\to -\infty$.
• הפונקציה $f^{\prime }(x)$ עולה (ככל ש־$x$ גדל, $\frac{10}{\sqrt{5x-16}}$ קטן).

רק גרף I מתאים לכל התכונות האלה.

תשובה: גרף I.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$. בין $x=4$ ל־$x=8.2$ הגרף של $f^{\prime }$ מתחת לציר ה־$x$, ובין $8.2$ ל־$13$ מעליו – לכן מחשבים כל חלק בנפרד:

$f(4)=0,f(8.2)=-3.6,f(13)=26-4\sqrt{49}=-2$

תשובה: $S=5.2$ יח״ר