בגרות חורף תשפ״ד (2024)

הנקודה $M$ נמצאת על ציר ה־$y$ ($x=0$) ועל הישר $AC$:

שיפוע $AC$ הוא $m_{AC}=-2$. נתון $AC\perp BD$, ולכן $m_{AC}\cdot m_{BD}=-1$:

הישר $BD$ עובר דרך $M(0,8)$:

תשובה: $y=\frac{1}{2}x+8$

$A$ – נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה־$x$ ($y=0$):

$B$ – נקודת החיתוך של $BD$ עם ציר ה־$x$:

$D$ – נתון $AD\perp AB$, ו־$AB$ מונח על ציר ה־$x$, ולכן $AD$ אנכי: $x=4$. הנקודה $D$ על $BD$:

$C$ – נתון $DC\parallel AB$, ולכן $DC$ מקביל לציר ה־$x$: $y=10$. הנקודה $C$ על $AC$:

תשובה: $A(4,0)$, $B(-16,0)$, $C(-1,10)$, $D(4,10)$

הזווית $ABD$ היא הזווית שהישר $BD$ יוצר עם ציר ה־$x$ (הצלע $BA$ מונחת על ציר ה־$x$). לכן:

(אפשר גם במשולש ישר הזווית $ABD$: $\tan \angle ABD=\frac{AD}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$.)

תשובה: $\angle ABD\approx 26.57^{\circ }$

שיפוע הישר $BC$:

הזווית שהישר $BC$ יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה־$x$: $\tan \beta =\frac{2}{3}\Rightarrow \beta \approx 33.69^{\circ }$, כלומר $\angle ABC\approx 33.69^{\circ }$.

$DC\parallel AB$, ולכן $\angle BCD$ ו־$\angle ABC$ הן זוויות חד־צדדיות בין ישרים מקבילים, שסכומן $180^{\circ }$:

תשובה: $\angle BCD\approx 146.31^{\circ }$

ניקח את $CD$ כבסיס. $CD$ מקביל לציר ה־$x$, ולכן אורכו הוא הפרש שיעורי ה־$x$:

הגובה מ־$B$ לישר $CD$ ($y=10$) הוא המרחק האנכי: $10-0=10$ (זה גם הגובה $AD$ של הטרפז).

תשובה: $25$ יחידות שטח.

$F$ נמצאת על הישר $CD$, כלומר $F(x,10)$. במשולש $BFC$ הבסיס $CF$ מונח על הישר $y=10$, והגובה מ־$B$ אליו הוא שוב $10$.

נדרש $S_{BFC}=2\cdot S_{BCD}=2\cdot 25=50$:

מ־$C(-1,10)$ נתקדם 10 יחידות ימינה או שמאלה:

או

שתי הנקודות נמצאות על המשך הצלע $CD$ (אחת מעבר ל־$D$, השנייה מעבר ל־$C$).

תשובה: $F(9,10)$ או $F(-11,10)$

נמצא את נקודות החיתוך של המשיק $4x+3y=40$ עם הצירים.

$A$ על ציר ה־$y$ ($x=0$): $3y=40\Rightarrow y=\frac{40}{3}$, כלומר $A\left(0,13\frac{1}{3}\right)$.

$B$ על ציר ה־$x$ ($y=0$): $4x=40\Rightarrow x=10$, כלומר $B(10,0)$.

במשולש ישר הזווית $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$) לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $AB=16\frac{2}{3}$

$MO=MD$ (רדיוסים במעגל).

המעגל משיק לציר ה־$x$ בנקודה $O$, ולכן $BO$ הוא קטע משיק מהנקודה $B$ למעגל. גם $BD$ הוא קטע משיק מ־$B$ למעגל. לכן $BO=BD$ (שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה).

במרובע $OMDB$ יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($MO=MD$, $BO=BD$), ולכן $OMDB$ הוא דלתון (מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון).

תשובה: הוכחה.

נשווה את המשולשים $ADM$ ו־$AOB$:

1. $\angle MAD=\angle BAO$ (זווית משותפת).

2. $\angle ADM=90^{\circ }$ (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).

3. $\angle AOB=90^{\circ }$ (הזווית בין הצירים).

מכאן $\angle ADM=\angle AOB$, ולכן $△ADM\sim △AOB$ (לפי משפט הדמיון ז.ז – שתי זוויות שוות בהתאמה).

תשובה: הוכחה.

נסמן את הרדיוס ב־$R$. אז $MD=R$, וגם $MO=R$ ולכן $AM=AO-MO=\frac{40}{3}-R$.

מהדמיון בסעיף ג (1) נובע יחס הצלעות המתאימות (מול זוויות שוות):

תשובה: $R=5$

המעגל משיק לציר ה־$x$ בראשית הצירים ומרכזו על החלק החיובי של ציר ה־$y$, ולכן $M(0,R)=(0,5)$.

תשובה: $x^2+(y-5{)}^2=25$

במרובע $OMDB$: $\angle MOB=90^{\circ }$ (בין הצירים) ו־$\angle MDB=90^{\circ }$ (רדיוס מאונך למשיק). אלה זוויות נגדיות במרובע, וסכומן $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$. לכן הדלתון בר חסימה במעגל (מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^{\circ }$ הוא בר חסימה במעגל).

המשולשים $MOB$ ו־$MDB$ ישרי זווית, והיתר המשותף שלהם הוא $MB$. במשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר, ולכן מרכז המעגל החוסם את הדלתון הוא אמצע הקטע $MB$, כאשר $M(0,5)$ ו־$B(10,0)$:

תשובה: כן; המרכז הוא $(5,2.5)$.