בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד ב׳

תשובה: $x\ne 4$

תשובה: $b=6$

$f(x)=\frac{2x-6}{x-4}+1=\frac{2x-6+x-4}{x-4}=\frac{3x-10}{x-4}$.

אנכית: $x=4$ (המונה $3\cdot 4-10=2\ne 0$). אופקית: מונה ומכנה מאותה מעלה, $y=\frac{3}{1}=3$.

תשובה: $x=4$, $y=3$

עם ציר ה־$y$: $(0,2.5)$ (נתון). עם ציר ה־$x$:

תשובה: $\left(\frac{10}{3},0\right)$, $(0,2.5)$

המכנה חיובי תמיד, ולכן $f^{\prime }(x)<0$ בכל תחום ההגדרה – הפונקציה יורדת.

תשובה: יורדת ב־$x<4$ וב־$x>4$.

תשובה: ראו סקיצה.

$f^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x-4{)}^2}$ שלילית בכל תחום ההגדרה (הגרף כולו מתחת לציר ה־$x$), יש לה אסימפטוטה אנכית $x=4$ ומשני צדיה $f^{\prime }(x)\to -\infty$.

הגרף המתאים הוא II.

תשובה: גרף II.

בתחום $0\le x\le 1$ הגרף של $f^{\prime }$ מתחת לציר ה־$x$, ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

תשובה: $S=\frac{1}{6}$ יח״ר

תשובה: $x\ge 0$

$(x-3)\sqrt{2x}=0$ כאשר $x-3=0$ או $\sqrt{2x}=0$: $x=3$ או $x=0$. הנקודה $(0,0)$ היא גם נקודת החיתוך עם ציר ה־$y$.

תשובה: $(0,0)$, $(3,0)$

לפי כלל המכפלה:

תשובה: $\max (0,0)$ (קצה), $\min (1,-2\sqrt{2})$

תשובה: ראו סקיצה.

הגרף של $g(x)=-f(x)$ הוא שיקוף של הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה־$x$.

תשובה: ראו סקיצה – שיקוף ביחס לציר ה־$x$.

השטח $S$ מוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה־$x$ בתחום $0\le x\le 3$ (שם הגרף מתחת לציר).

הגרף של $g$ הוא שיקוף של $f$ ביחס לציר ה־$x$, ולכן השטח בין הגרף של $g$ לציר ה־$x$ באותו תחום שווה גם הוא ל־$S$ (מעל הציר).

השטח בין שני הגרפים מורכב משני השטחים האלה:

תשובה: $2S$

לפי גרף הנגזרת:

תשובה: מינימום ב־$x=-1$, מקסימום ב־$x=0$, מינימום ב־$x=a$.

נקודות האפס של הנגזרת: $x=-1,0,2$. לכן $a=2$.

תשובה: $a=2$

תשובה: $\min (-1,7)$, $\max (0,12)$, $\min (2,-20)$

תשובה: ראו סקיצה.

בנקודה $x=2$ יש מינימום, ולכן המשיק שם אופקי: $y=-20$. בתחום $-1\le x\le 2$ הגרף של $f$ מעל המשיק:

תשובה: $S=64.8$ יח״ר