מצגת הסבר – חקירת פונקציות ואינטגרלים

12 שקפים · פונקציה רציונלית ושורש: תחום, אסימפטוטות, קיצון, סקיצה ושטח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

חקירת פונקציות ואינטגרלים

מצגת הסבר – פונקציה רציונלית, פונקציית שורש ושטחים

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו שאלות 6–7:

פונקציה רציונלית (שבר): תחום, אסימפטוטות, קיצון, סקיצה
פונקציית שורש: תחום, נקודות חיתוך, קיצון (גם בקצה)
אינטגרל: שטח בין גרף לציר ה־ $x$
זיהוי גרף הנגזרת, הזזה של גרף

מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

סדר החקירה

תחום הגדרה: המכנה שונה מאפס, הביטוי בשורש אי־שלילי.
אסימפטוטות (בפונקציה רציונלית).
חיתוך עם הצירים – עם כל ציר בנפרד.
נקודות קיצון: משווים את הנגזרת לאפס ובונים טבלת סימנים.
תחומי עלייה וירידה – מהטבלה.
סקיצה – לפי כל מה שמצאנו.

זוגית?

אם לכל $x$ בתחום:

f (- x) = f (x)

אז הגרף סימטרי לציר ה־ $y$ .

צריך גם תחום הגדרה סימטרי.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

הנגזרות מהנוסחאון

נוסחאון · נגזרות

$(x^{t})^{'} = t \cdot x^{t - 1}$	$(\frac{a}{x})^{'} = - \frac{a}{x ^{2}}$	$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$
$[(f (x))^{t}]^{'} = t \cdot [f (x)]^{t - 1} \cdot f^{'} (x)$	$[\frac{1}{f ( x )}]^{'} = - \frac{f ^{'} ( x )}{[ f ( x ) ] ^{2}}$	$[f (x)]^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$

נגזרת של מכפלת פונקציות:

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

נגזרת של מנת פונקציות:

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

האינטגרלים מהנוסחאון

נוסחאון · אינטגרלים (

m \neq = 0

)

$\int x^{t} d x = \frac{x ^{t + 1}}{t + 1} + C$	$\int (m x + b)^{t} d x = \frac{( m x + b ) ^{t + 1}}{m \cdot ( t + 1 )} + C$
$\int \frac{a}{x ^{2}} d x = - \frac{a}{x} + C$	$\int \frac{a}{( m x + b ) ^{2}} d x = - \frac{a}{m \cdot ( m x + b )} + C$

( $t$ ממשי, $t \neq = - 1$ )

לזכור (לא בנוסחאון)

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

שטח של חלק מתחת לציר ה־ $x$ – לוקחים את האינטגרל עם מינוס. כשהגרף חוצה את הציר – מחשבים כל חלק לחוד.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

אסימפטוטות – לזכור (לא בנוסחאון)

אנכית

ערך $x$ שמאפס את המכנה (והמונה שם $\neq = 0$ ).

x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3

אופקית (כאשר $x \to \pm \infty$ )

מעלת המונה	האסימפטוטה
קטנה ממעלת המכנה	$y = 0$
שווה למעלת המכנה	מנת המקדמים המובילים

\frac{6 x ^{2} - 18}{x ^{2} - 9} \to y = \frac{6}{1} = 6

הזזה: הגרף של $g (x) = f (x - 7)$ זז 7 יחידות ימינה.
האסימפטוטות האנכיות זזות ב־7, והאופקית לא משתנה.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – רציונלית (א, ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

נתונה הפונקציה:

f (x) = \frac{4 x ^{2}}{x ^{2} - 9} + a

תחום ההגדרה:

x^{2} - 9 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = \pm 3

הראו שהפונקציה זוגית:

f (- x) = \frac{4 ( - x ) ^{2}}{( - x ) ^{2} - 9} + a = f (x)

הגרף עובר דרך $(3, 0)$ . מצאו את $a$ :

\frac{4 \cdot 3}{3 - 9} + a = 0 \Rightarrow a = 2

נציב $a = 2$ ונעשה מכנה משותף:

f (x) = \frac{6 x ^{2} - 18}{x ^{2} - 9}

חיתוך עם ציר ה־ $x$ :

6 x^{2} - 18 = 0 \Rightarrow x = \pm 3

חיתוך עם ציר ה־ $y$ :

f (0) = 2

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – קיצון ואסימפטוטות (ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

נגזרת של מנה:

f^{'} (x) = \frac{8 x ( x ^{2} - 9 ) - 4 x ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}} = \frac{- 72 x}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}}

f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 0

המכנה תמיד חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי המונה:

$x$	$x < - 3$	$- 3 < x < 0$	0	$0 < x < 3$	$x > 3$
$f^{'}$	+	+	0	−	−
$f$	↗	↗	max	↘	↘

$max (0, 2)$

האסימפטוטות:

x = \pm 3, y = 6

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שורש (א, ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 7

נתונה הפונקציה:

f (x) = 2 x - 4 5 x - 16

5 x - 16 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3.2

חיתוך עם ציר ה־ $x$ : מבודדים את השורש ומעלים בריבוע:

x = 2 5 x - 16 \Rightarrow x^{2} - 20 x + 64 = 0

$x = 4$ או $x = 16$ – בודקים בהצבה ✓

f^{'} (x) = 2 - \frac{10}{5 x - 16} = 0

5 x - 16 = 5 \Rightarrow x = 8.2

f (8.2) = - 3.6, f (3.2) = 6.4

משמאל ל־8.2 הנגזרת שלילית, מימין חיובית.

$min (8.2, - 3.6)$

ומקסימום בקצה התחום:

$max (3.2, 6.4)$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – סקיצה ושטח (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 7

ה. מחשבים את השטח בין גרף הנגזרת לציר ה־ $x$ , בתחום:

4 \leq x \leq 13

$f (x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{'} (x)$ .
$f (4) = 0, f (8.2) = - 3.6, f (13) = - 2$

S_{1} = - (f (8.2) - f (4)) = 3.6

S_{2} = f (13) - f (8.2) = 1.6

$S = 3.6 + 1.6 = 5.2$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בפונקציית שורש – לבדוק קצה התחום: גם הוא יכול להיות קיצון.
אחרי העלאה בריבוע – בדיקה בהצבה.
בטבלת הסימנים – לכלול גם את הנקודות שמחוץ לתחום ( $x = \pm 3$ ).

אסימפטוטה אופקית – לא לשכוח את המספר שמוסיפים ( $+ a$ ).
שטח מתחת לציר – עם מינוס; גרף שחוצה את הציר – בחלקים.
נקודת קיצון כותבים עם שני השיעורים.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 12

בס״דחקירת פונקציות ואינטגרלים · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

מצאו את נקודות הקיצון של $f (x) = x^{3} - 3 x$ .
מצאו את האסימפטוטות של $g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .
גזרו: $h (x) = 2 x + 1$
חשבו: $\int_{0}^{2} x^{2} d x$

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
$max (- 1, 2), min (1, - 2)$
אנכית: $x = 3$
אופקית: $y = 2$
$h^{'} (x) = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2x + 1}$
$[\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 12

› לכל המצגות

מצגת הסבר – חקירת פונקציות ואינטגרלים

חקירת פונקציות ואינטגרלים

מה נלמד?

סדר החקירה

זוגית?

הנגזרות מהנוסחאון

האינטגרלים מהנוסחאון

לזכור (לא בנוסחאון)

אסימפטוטות – לזכור (לא בנוסחאון)

אנכית

אופקית (כאשר x→±∞)

שאלת בגרות פתורה – רציונלית (א, ב, ג)

שאלת בגרות פתורה – קיצון ואסימפטוטות (ד)

שאלת בגרות פתורה – שורש (א, ב, ג)

שאלת בגרות פתורה – סקיצה ושטח (ד, ה)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

אופקית (כאשר $x \to \pm \infty$ )