מצגת הסבר – גאומטרייה וטריגונומטריה

13 שקפים · משפטי מעגל, דמיון משולשים וחישובים במערכת צירים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

גאומטרייה וטריגונומטריה

מצגת הסבר – משפטי מעגל, דמיון וחישובים במערכת צירים

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלות האלה (שאלה 4 או 5) מעגל ומשולשים יושבים במערכת צירים:

מוכיחים בעזרת משפטים: זווית ישרה, דמיון משולשים
מחשבים בכלים של גאומטרייה אנליטית: שיפוע, חיתוך, מרחק
משלימים בעזרת טריגונומטריה: זווית, שטח

ההוכחה בסעיף הראשון היא בדרך כלל המפתח לסעיפים הבאים.

מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד א׳

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

משפטי מעגל – לזכור (לא בנוסחאון)

זווית היקפית על קוטר

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה ( $9 0^{\circ}$ ).

ולהפך: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

אותה קשת

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת – שוות.

מרובע חסום במעגל

סכום זוויות נגדיות הוא $18 0^{\circ}$ .

משיק

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

דמיון משולשים – לזכור (לא בנוסחאון)

איך מוכיחים דמיון?

ז.ז. – שתי זוויות שוות.

זוויות שוות מוצאים כך:

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
זוויות קודקודיות
שתי זוויות ישרות
זווית משותפת לשני המשולשים

יחס הדמיון $k$

מה משווים	היחס
צלעות מתאימות	$k$
היקפים	$k$
שטחים	$k^{2}$

צלעות מתאימות – מול זוויות שוות.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · משולש ישר זווית

sin α = \frac{a}{c}, cos α = \frac{b}{c}, tan α = \frac{a}{b}

$a$ – הניצב מול הזווית
$b$ – הניצב שליד הזווית
$c$ – היתר

משפט פיתגורס:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

נוסחאון · צורות במישור

שטח משולש (הזווית כלואה בין שתי הצלעות):

S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin α

משפט הסינוסים (רדיוס המעגל החוסם – $R$ ):

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

ובנוסף כל נוסחאות הגאומטרייה האנליטית: שיפוע, משוואת ישר, אמצע קטע, מרחק, ישרים מאונכים ומשוואת מעגל.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – הוכחה ואז חישוב

מסמנים על הסרטוט את כל הנתונים (קוטר, משיק, מקבילים).
הוכחה: כל שורה – טענה + נימוק (שם המשפט).
זווית ישרה במעגל? ← מאונכים ← $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .
חישובים: שיפוע ← ישר ← חיתוך ← מרחק.
בסוף: יחס דמיון, זווית בעזרת טריגונומטריה, שטח.

דוגמה לשורת הוכחה

טענה	נימוק
$∠ C A B = 9 0^{\circ}$	זווית היקפית הנשענת על קוטר
$∠ F C D = 9 0^{\circ}$	משיק מאונך לרדיוס
$△ A B C \sim △ C F D$	ז.ז.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – ההוכחה (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 5

$C B$ קוטר במעגל. $A B$ מקביל לציר ה־ $y$ . המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $F$ , והמשך הקוטר חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $D$ .

א1

$∠ C A B = 9 0^{\circ}$ – זווית היקפית על קוטר.

הישר $A B$ אנכי, ולכן $A C$ מקביל לציר ה־ $x$ .

א2

הוכיחו: $△ A B C \sim △ C F D$

$∠ C A B = ∠ F C D = 9 0^{\circ}$ – זווית היקפית על קוטר, ומשיק מאונך לרדיוס.
$∠ A C B = ∠ C D F$ – זוויות מתחלפות ( $A C$ מקביל לציר ה־ $x$ ).

לכן המשולשים דומים (ז.ז.).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – חישובים (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 5

משוואת המשיק: $y = \frac{4}{3} x + 31$ . נתון $D (8, 0)$ .

$F$ על ציר ה־ $x$ – נציב $y = 0$ :

\frac{4}{3} x + 31 = 0 \Rightarrow x = - 23.25

F D = 8 - (- 23.25) = 31.25

ג1

$C D ⊥ C F$ , ושיפוע $C F$ הוא $\frac{4}{3}$ :

m_{C D} = - \frac{3}{4}, y = - \frac{3}{4} (x - 8) = - \frac{3}{4} x + 6

ג2

$C$ – חיתוך המשיק עם $C D$ :

\frac{4}{3} x + 31 = - \frac{3}{4} x + 6 \Rightarrow x = - 12

C (- 12, 15), C D = 2 0^{2} + 1 5^{2} = 25

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – היקף בעזרת הדמיון (ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 5

יחס הדמיון בין המשולשים $A B C$ ו־ $C F D$ הוא $\frac{8}{25}$ . מצאו את היקף המשולש $A B C$ .

קודם – ההיקף של $C F D$ :

C F = 11.2 5^{2} + 1 5^{2} = 18.75

P_{C F D} = 18.75 + 31.25 + 25 = 75

יחס ההיקפים = $k$

\frac{P _{A B C}}{P _{C F D}} = \frac{8}{25}

P_{A B C} = \frac{8}{25} \cdot 75 = 24

היקף $A B C$ : 24

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – מרובע חסום (א, ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 4

המרובע $A B C D$ חסום במעגל, ו־ $∠ A = ∠ C$ . הקודקודים $B (0, 12)$ ו־ $D (0, 2)$ על ציר ה־ $y$ .

זוויות נגדיות במרובע חסום:

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ} \Rightarrow ∠ A = ∠ C = 9 0^{\circ}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר ← $B D$ קוטר.

המרכז = אמצע $B D$ , הרדיוס = חצי $B D$ :

M (0, 7), R = 5 \Rightarrow x^{2} + (y - 7)^{2} = 25

שיפוע $B C$ הוא $- \frac{1}{2}$ , ו־ $D C ⊥ B C$ :

D C : y = 2 x + 2 B C : y = - \frac{1}{2} x + 12

2 x + 2 = - \frac{1}{2} x + 12 \Rightarrow C (4, 10)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – שטח וזוויות (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 4

$E$ אמצע $D C$ , כלומר $E (2, 6)$ . המשולש $B C E$ ישר זווית ב־ $C$ :

B C = 4^{2} + 2^{2} = 20, C E = 2^{2} + 4^{2} = 20

S_{B C E} = \frac{20 \cdot 20}{2} = 10

ה1

הניצבים שווים ← משולש ישר זווית ושווה שוקיים:

∠ B E C = \frac{18 0 ^{\circ} - 9 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}

ה2

אנך מ־ $E$ לציר ה־ $y$ : הניצב מול הזווית 2, הניצב שליד 6:

tan ∠ D B E = \frac{2}{6} \Rightarrow ∠ D B E \approx 18.4 3^{\circ}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בכל שורת הוכחה – נימוק (שם המשפט), לא רק טענה.
בדמיון – לכתוב את הקודקודים בסדר המתאים.
יחס ההיקפים הוא $k$ .
יחס השטחים הוא $k^{2}$ .

זווית ישרה במעגל ← לחפש קוטר (וגם הפוך).
במשולש ישר זווית: לזהות מי מול הזווית ומי ליד.
מחשבון במעלות (DEG)!

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 13

בס״דגאומטרייה וטריגונומטריה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

$A B$ קוטר במעגל ו־ $C$ נקודה על המעגל. מהי הזווית $A C B$ ? מדוע?
במרובע חסום במעגל זווית אחת היא $7 0^{\circ}$ . מהי הזווית שמולה?
שני משולשים דומים, יחס הדמיון $1.5$ . מהו יחס השטחים?
במשולש שתי צלעות 6 ו־8, והזווית ביניהן $3 0^{\circ}$ . מהו שטחו?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$9 0^{\circ}$ – זווית היקפית הנשענת על קוטר
$18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$
$1. 5^{2} = 2.25$
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin 3 0^{\circ} = 12$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547113 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – גאומטרייה וטריגונומטריה

גאומטרייה וטריגונומטריה

מה נלמד?

משפטי מעגל – לזכור (לא בנוסחאון)

זווית היקפית על קוטר

אותה קשת

מרובע חסום במעגל

משיק

דמיון משולשים – לזכור (לא בנוסחאון)

איך מוכיחים דמיון?

יחס הדמיון k

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – הוכחה ואז חישוב

דוגמה לשורת הוכחה

שאלת בגרות פתורה – ההוכחה (א)

שאלת בגרות פתורה – חישובים (ב, ג)

שאלת בגרות פתורה – היקף בעזרת הדמיון (ד)

יחס ההיקפים = k

עוד שאלת בגרות – מרובע חסום (א, ב, ג)

עוד שאלת בגרות – שטח וזוויות (ד, ה)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

יחס הדמיון $k$

יחס ההיקפים = $k$