מצגת הסבר – סטטיסטיקה ורגרסיה

13 שקפים · ממוצע, סטיית תקן, מקדם מתאם וישר רגרסיה

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

סטטיסטיקה ורגרסיה

מצגת הסבר – מקדם מתאם וישר רגרסיה

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו בדרך כלל שאלה 2. שני משתנים $x$ ו־ $y$ שנמדדו על אותם פריטים.

ממוצעים $\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}$ וסטיות תקן $S_{x}, S_{y}$
מקדם המתאם $r$ – כמה חזק הקשר הקווי
ישר הרגרסיה – וניבוי בעזרתו
מה קורה כשמשנים את הנתונים

דיאגרמת פיזור מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

מקדם המתאם $r$ – מה הוא אומר?

הסימן = הכיוון

$r > 0$ ← קשר חיובי: $x$ גדל – $y$ בדרך כלל גדל.

$r < 0$ ← קשר שלילי: $x$ גדל – $y$ בדרך כלל קטן.

הגודל = העוצמה

- 1 \leq r \leq 1

קרוב ל־1 או ל־ $- 1$ ← קשר חזק. קרוב ל־0 ← קשר חלש.

$r = 1$ או $r = - 1$ ← כל הנקודות על קו ישר אחד.

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ . ניבוי לפי הישר הוא הערכה בלבד (כל עוד $r \neq = \pm 1$ ).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · סטטיסטיקה

השכיחויות של $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ הן $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ בהתאמה.
$N = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{n}$

ממוצע:

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} f _{1} + x _{2} f _{2} + \dots + x _{n} f _{n}}{N}

סטיית תקן:

S = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} f _{1} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2} f _{n}}{N}

ציון תקן:

z = \frac{x - x ˉ}{S}

שיפוע $m$ של ישר הרגרסיה:

m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}

משוואת ישר הרגרסיה:

y - \overset{y}{ˉ} = m (x - \overset{x}{ˉ})

מקדם המתאם $r$ :

r = \frac{1}{N \cdot S _{x} \cdot S _{y}} [(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) (y_{1} - \overset{y}{ˉ}) + \dots + (x_{N} - \overset{x}{ˉ}) (y_{N} - \overset{y}{ˉ})]

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – טבלה אחת לכל החישובים

מחשבים $\overset{x}{ˉ}$ ו־ $\overset{y}{ˉ}$ .
טבלה: לכל פריט $x - \overset{x}{ˉ}$ , ‏ $y - \overset{y}{ˉ}$ , הריבועים והמכפלה.
$S_{x}, S_{y}$ – סכום הריבועים חלקי $N$ , ושורש.
$r$ – סכום המכפלות חלקי $N \cdot S_{x} \cdot S_{y}$ .
$m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}$ , ומציבים בישר $y - \overset{y}{ˉ} = m (x - \overset{x}{ˉ})$ .
ניבוי: מציבים את $x$ הנתון בישר.

דוגמה קטנה

$x$	$y$	$x - \overset{x}{ˉ}$	$y - \overset{y}{ˉ}$	מכפלה
1	2	$- 1$	$- 2$	2
2	4	0	0	0
3	6	1	2	2

‏ $\overset{x}{ˉ} = 2, \overset{y}{ˉ} = 4, S_{x} = \frac{2}{3}, S_{y} = \frac{8}{3}$

r = \frac{4}{3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3}} = \frac{4}{3 \cdot \frac{4}{3}} = 1

כל הנקודות על ישר אחד ( $y = 2 x$ ) ← $r = 1$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

מה קורה כשמשנים את הנתונים?

לזכור (לא בנוסחאון):

השינוי בכל ערכי $y$	$\overset{y}{ˉ}$	$S_{y}$	$r$	השיפוע $m$
מוסיפים מספר קבוע $c$	גדל ב־ $c$	לא משתנה	לא משתנה	לא משתנה
כופלים במספר חיובי $k$	פי $k$	פי $k$	לא משתנה	פי $k$

למה?

הוספת קבוע מזיזה את כל הדיאגרמה למעלה – המרחקים בין הנקודות לא משתנים.

ומה עם הישר?

הוספת $c$ לכל $y$ ← הישר כולו עולה ב־ $c$ : השיפוע זהה, ומספר החופשי גדל ב־ $c$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – דיאגרמת פיזור (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$x$ – שטח ירוק לנפש (מ״ר) בשש ערים, $y$ – רמת זיהום האוויר. א. איזה היגד נכון?
היגד I: ‏ $r = - 1$
היגד II: ‏ $0 < r < 1$
היגד III: ‏ $- 1 < r < 0$

הנקודות יורדות משמאל לימין ← $r < 0$ .

הן לא כולן על ישר אחד (ב־ $x = 15$ יש שתי נקודות) ← $r \neq = - 1$ .

היגד III: $- 1 < r < 0$

ב. הממוצעים:

\overset{x}{ˉ} = \frac{5 + 10 + 15 + 15 + 20 + 25}{6} = \frac{90}{6} = 15

\overset{y}{ˉ} = \frac{50 + 40 + 30 + 20 + 30 + 10}{6} = \frac{180}{6} = 30

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – ישר הרגרסיה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

ג1

ישר הרגרסיה הוא $y = - 1.8 x + b$ . מצאו את $b$ .

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(15, 30)$ :

30 = - 1.8 \cdot 15 + b \Rightarrow b = 57

ג2

נבאו את $y$ בעיר שבה $x = 18$ :

y = - 1.8 \cdot 18 + 57 = 24.6

סטיית התקן של $x$ :

הריבועים:

(x - \overset{x}{ˉ})^{2} : 100, 25, 0, 0, 25, 100

S_{x} = \frac{250}{6} = \frac{125}{3} \approx 6.45

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – $r$ מתוך השיפוע (ה, ו)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

נתון $S_{y} = \frac{500}{3}$ . מצאו את $r$ .

השיפוע הוא $m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}$ , והשיפוע הנתון $- 1.8$ :

\frac{S _{y}}{S _{x}} = \frac{500}{3} : \frac{125}{3} = 4 = 2

2 r = - 1.8 \Rightarrow r = - 0.9

התברר שכל ערכי $y$ גדולים ב־4. האם השיפוע ישתנה? מהו הישר החדש?

הוספת 4 לכל $y$ : ‏ $S_{y}$ ו־ $r$ לא משתנים ← השיפוע לא משתנה.

הממוצעים החדשים:

\overset{x}{ˉ} = 15, \overset{y}{ˉ} = 30 + 4 = 34

34 = - 1.8 \cdot 15 + b \Rightarrow b = 61

$y = - 1.8 x + 61$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – חישוב $r$ בטבלה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 2

נמדדו 8 דגמים.
$x$ : ארבעה ערכים 9, וארבעה ערכים 11.
$y$ : הערכים 2 ו־18, ושישה ערכים 10.

\overset{x}{ˉ} = \frac{4 \cdot 9 + 4 \cdot 11}{8} = 10

כל $x$ רחוק 1 מהממוצע:

S_{x} = \frac{8 \cdot 1}{8} = 1

\overset{y}{ˉ} = \frac{2 + 6 \cdot 10 + 18}{8} = 10

S_{y} = \frac{64 + 0 + 64}{8} = 16 = 4

$x$	$y$	$x - \overset{x}{ˉ}$	$y - \overset{y}{ˉ}$	מכפלה
9	2	$- 1$	$- 8$	8
9 (3 פעמים)	10	$- 1$	0	0
11 (3 פעמים)	10	1	0	0
11	18	1	8	8

r = \frac{8 + 8}{8 \cdot 1 \cdot 4} = \frac{16}{32} = 0.5

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – הישר והשינוי (ג, ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 2

ישר הרגרסיה לניבוי $y$ לפי $x$ :

y - 10 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} (x - 10)

y = 2 x - 10

ניבוי ל־ $x = 10$ :

y = 2 \cdot 10 - 10 = 10

צפוי: $x = 10$ הוא הממוצע, והישר עובר דרך $(10, 10)$ .

כל הזמנים $y$ קוצרו ב־20% (כלומר כפול 0.8). מה קורה ל־ $r$ , ל־ $S_{y}$ ולשיפוע?

$r$ – לא משתנה (0.8 מצטמצם בנוסחה).

S_{y} = 0.8 \cdot 4 = 3.2

m = \frac{1}{2} \cdot \frac{3.2}{1} = 1.6

סטיית התקן והשיפוע קטנים.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

מחלקים ב־ $N$ – מספר הפריטים (הערים, הדגמים), לא במספר העמודות.
בסטיית תקן לא לשכוח את השורש.
$r$ תמיד בין $- 1$ ל־1. יצא מחוץ לתחום? יש טעות.

הסימן של $r$ = הסימן של השיפוע.
„למצוא $b$ ” ← מציבים את $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ בישר.
ניבוי הוא הערכה. „בדיוק” רק כאשר $r = \pm 1$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

$x$	1	2	3	4	5
$y$	3	5	4	7	6

חשבו את $\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, S_{x}, S_{y}$ .
חשבו את $r$ .
מצאו את ישר הרגרסיה, ונבאו את $y$ כאשר $x = 6$ .
כל ערכי $y$ גדלו ב־3. מה יקרה ל־ $r$ ולשיפוע?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$\overset{x}{ˉ} = 3, \overset{y}{ˉ} = 5$
$S_{x} = \frac{10}{5} = 2, S_{y} = \frac{10}{5} = 2$
סכום המכפלות 8
$r = \frac{8}{5 \cdot 2 \cdot 2} = 0.8$
$m = 0.8 \cdot \frac{2}{2} = 0.8$
$y - 5 = 0.8 (x - 3) \Rightarrow y = 0.8x + 2.6$
$y = 0.8 \cdot 6 + 2.6 = 7.4$
שניהם לא משתנים (רק הישר עולה ב־3)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547113 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – סטטיסטיקה ורגרסיה

סטטיסטיקה ורגרסיה

מה נלמד?

מקדם המתאם r – מה הוא אומר?

הסימן = הכיוון

הגודל = העוצמה

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – טבלה אחת לכל החישובים

דוגמה קטנה

מה קורה כשמשנים את הנתונים?

למה?

ומה עם הישר?

שאלת בגרות פתורה – דיאגרמת פיזור (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – ישר הרגרסיה (ג, ד)

שאלת בגרות פתורה – r מתוך השיפוע (ה, ו)

עוד שאלת בגרות – חישוב r בטבלה (א, ב)

עוד שאלת בגרות – הישר והשינוי (ג, ד, ה)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

מקדם המתאם $r$ – מה הוא אומר?

שאלת בגרות פתורה – $r$ מתוך השיפוע (ה, ו)

עוד שאלת בגרות – חישוב $r$ בטבלה (א, ב)