מצגת הסבר – התפלגות נורמלית

12 שקפים · ציון תקן, קריאת הטבלה ושאלות אחוזים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

התפלגות נורמלית

מצגת הסבר – ציון תקן וטבלת ההתפלגות הנורמלית

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו בדרך כלל שאלה 1. נתונים ממוצע $\overset{x}{ˉ}$ וסטיית תקן $S$ (או שאחד מהם חסר).

כמה אחוזים מתחת / מעל / בין ערכים
מאחוז נתון – למצוא $\overset{x}{ˉ}$ , $S$ או ערך סף
מאחוז ומספר אנשים – לחשב את מספר המשתתפים
להשוות הישגים בעזרת ציון תקן

השטח מתחת לעקומה = אחוז מהאוכלוסייה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

רעיונות מרכזיים

העקומה

סימטרית סביב הממוצע $\overset{x}{ˉ}$ .
השטח כולו מתחתיה $= 1$ (כלומר 100%).
חצי מהשטח משמאל לממוצע: $P (Z < 0) = 0.5$

ציון תקן $Z$

כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע.

$Z > 0$ ← מעל הממוצע. ‏ $Z < 0$ ← מתחתיו.

ציון תקן גבוה יותר = הישג יחסי טוב יותר.

הטבלה בנוסחאון נותנת תמיד את השטח משמאל ל־ $z$ , כלומר $P (Z < z)$ . באתר מסמנים אותו גם $Φ (z)$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · ציון תקן

z = \frac{x - x ˉ}{S}

נוסחאון · התפלגות נורמלית

P (z > z_{x}) = 1 - P (z < z_{x})

P (z > z_{x}) = P (z < - z_{x})

P (z_{1} < z < z_{2}) = P (z < z_{2}) - P (z < z_{1})

ובנוסחאון גם טבלת ההתפלגות הנורמלית. בכל תא רשום $P (Z < z)$ .

הטבלה מכסה את הערכים $- 3.0 \leq z \leq 3.0$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

איך קוראים את הטבלה?

שורה – $z$ עד הספרה הראשונה אחרי הנקודה (למשל 1.5).
עמודה – הספרה השנייה (למשל 2).
בתא: $P (Z < 1.52) = 0.936$

הפוך: נתון אחוז ← מחפשים אותו בתוך הטבלה, וקוראים את $z$ מהשורה והעמודה.

דוגמאות מהטבלה

$z$	$P (Z < z)$
$- 0.32$	0.375
0	0.5
0.5	0.692
1	0.841
1.5	0.933
1.6	0.945

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

מחפשים אחוז

מסרטטים עקומה ומסמנים את השטח המבוקש.
מחשבים $z$ לכל ערך.
שטח משמאל ← ישר מהטבלה.
שטח מימין ← 1 פחות הערך בטבלה.
שטח בין ← הפרש של שני ערכים.
מספר אנשים = אחוז $\cdot$ כמות כוללת.

נתון אחוז, מחפשים $\overset{x}{ˉ}$ או $S$

הופכים את האחוז לשטח משמאל (אם צריך: 1 פחות האחוז).
מוצאים בטבלה את $z$ המתאים.
מציבים בנוסחה $z = \frac{x - x ˉ}{S}$ ופותרים.
בודקים את הסימן: פחות מחצי משמאל ← $z < 0$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מוצאים את הממוצע (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

מספר הצעדים היומי מתפלג נורמלית, $S = 800$ . ל־37.5% מהמשתתפים פחות מ־6,944 צעדים. א. מהו הממוצע?

בטבלה: $P (Z < - 0.32) = 0.375$

- 0.32 = \frac{6944 - x ˉ}{800}

6944 - \overset{x}{ˉ} = - 256 \Rightarrow \overset{x}{ˉ} = 7200

ב. כמה אחוזים הולכים יותר מ־8,400 צעדים?

z = \frac{8400 - 7200}{800} = 1.5

P (Z > 1.5) = 1 - 0.933 = 0.067

6.7% מהמשתתפים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מספר המשתתפים (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

14,722 משתתפים הלכו בין 7,200 ל־8,400 צעדים. כמה משתתפים היו?

P (0 < Z < 1.5) = 0.933 - 0.5 = 0.433

0.433 \cdot N = 14, 722 \Rightarrow N = 34, 000

לשרית 8,416 צעדים ו־9.28 שעות שינה. ציון התקן שלה זהה בשניהם. ממוצע השינה 7 שעות. מהי סטיית התקן של השינה?

z = \frac{8416 - 7200}{800} = 1.52

זה גם ציון התקן של שעות השינה:

1.52 = \frac{9.28 - 7}{S} \Rightarrow S = 1.5

1.5 שעות

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – מוצאים את $S$ (א, ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

מרחק הקפיצה לרוחק מתפלג נורמלית, הממוצע 4.6 מטר. ל־69.2% מהמשתתפים פחות מ־4.8 מטר.

בטבלה: $P (Z < 0.5) = 0.692$

0.5 = \frac{4.8 - 4.6}{S} \Rightarrow S = 0.4

מדליה – מי שקפץ יותר מ־5.24 מטר. כמה אחוזים?

z = \frac{5.24 - 4.6}{0.4} = 1.6

P (Z > 1.6) = 1 - 0.945 = 0.055

11 משתתפים קיבלו מדליה. כמה השתתפו?

0.055 \cdot N = 11 \Rightarrow N = 200

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

השוואת הישגים בעזרת ציון תקן (ד)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

ספורטאי קפץ 5 מטר לרוחק ו־1.75 מטר לגובה. בקפיצה לגובה: ממוצע 1.5, סטיית תקן 0.2. באיזה ענף ההישג היחסי שלו טוב יותר?

לרוחק:

z = \frac{5 - 4.6}{0.4} = 1

לגובה:

z = \frac{1.75 - 1.5}{0.2} = 1.25

המסקנה

$1.25 > 1$ ← ההישג היחסי טוב יותר בקפיצה לגובה.

לא משווים מטרים במטרים – משווים ציוני תקן.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

הטבלה = שטח משמאל. „יותר מ־” ← 1 פחות הערך בטבלה.
בחיפוש הפוך: אחוז קטן מ־50% משמאל ← $z$ שלילי.
אחוז ← שבר עשרוני: 6.7% = 0.067.

„בין שני ערכים” ← הפרש של שני ערכי טבלה.
מספר אנשים = השבר כפול מספר המשתתפים. כשהמספר חסר – בונים משוואה.
תמיד לסרטט עקומה ולסמן את השטח – זה חוסך טעויות.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 12

בס״דהתפלגות נורמלית · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית: ממוצע 50, סטיית תקן 10.

כמה אחוזים קיבלו פחות מ־65?
כמה אחוזים קיבלו יותר מ־40?
כמה אחוזים קיבלו בין 40 ל־65?
ל־15.9% מהנבחנים ציון גבוה מ־ $a$ . מצאו את $a$ .

מהטבלה:

$P (Z < 1.5) = 0.933$
$P (Z < - 1) = 0.159$
$P (Z < 1) = 0.841$

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$z = \frac{65 - 50}{10} = 1.5$
$P (Z < 1.5) = 0.933 = 93.3%$
$z = \frac{40 - 50}{10} = - 1$
$1 - 0.159 = 0.841 = 84.1%$
$0.933 - 0.159 = 0.774 = 77.4%$
השטח משמאל ל־ $a$ :
$1 - 0.159 = 0.841$
בטבלה: $z = 1$
$1 = \frac{a - 50}{10} \Rightarrow a = 60$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 12

› לכל המצגות

מצגת הסבר – התפלגות נורמלית

התפלגות נורמלית

מה נלמד?

רעיונות מרכזיים

העקומה

ציון תקן Z

הנוסחאות מהנוסחאון

איך קוראים את הטבלה?

דוגמאות מהטבלה

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

מחפשים אחוז

נתון אחוז, מחפשים xˉ או S

שאלת בגרות פתורה – מוצאים את הממוצע (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – מספר המשתתפים (ג, ד)

עוד שאלת בגרות – מוצאים את S (א, ב, ג)

השוואת הישגים בעזרת ציון תקן (ד)

המסקנה

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

ציון תקן $Z$

נתון אחוז, מחפשים $\overset{x}{ˉ}$ או $S$

עוד שאלת בגרות – מוצאים את $S$ (א, ב, ג)