מצגת הסבר – הסתברות

13 שקפים · עץ הסתברויות, טבלה דו־ממדית, משלים והסתברות מותנית

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הסתברות

מצגת הסבר – עץ, טבלה והסתברות מותנית

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35471תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354711 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו בדרך כלל שאלה 3. הכלים שחוזרים בכל מועד:

עץ הסתברויות – ניסוי בשלבים
טבלה דו־ממדית – שתי תכונות (בן/בת, יש/אין)
מאורע משלים – „לפחות אחד”
הסתברות מותנית – „ידוע ש…”
הוצאה בלי החזרה ומספר צפוי מתוך כמות

עץ מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354712 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

מושגים בסיסיים

מאורע משלים

$\overset{ˉ}{A}$ = „ $A$ לא קרה”.

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

„לפחות אחד” = 1 פחות „אף אחד”.

חיתוך $A \cap B$

שני המאורעות קרו יחד („וגם”).

אם $A$ מוכל ב־ $B$ , אז $P (A \cap B) = P (A)$ .

מאורעות בלתי תלויים

קרות האחד לא משנה את ההסתברות של השני.

בלי החזרה

אחרי כל הוצאה – גם המונה וגם המכנה קטנים ב־1.

\frac{180}{250} \cdot \frac{70}{249}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354713 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · הסתברות מותנית

P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

„ההסתברות ש־ $A$ קרה, בהינתן ש־ $B$ קרה”

נוסחאון · מאורעות בלתי תלויים

הסתברות של $A$ וגם $B$ כאשר $A$ ו־ $B$ הם מאורעות בלתי תלויים:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

לזכור (לא בנוסחאון): מאורע משלים $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ , וכפל לאורך מסלול בעץ.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354714 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

עץ הסתברויות

כל שלב בניסוי = פיצול בעץ. על כל ענף – ההסתברות.
הענפים שיוצאים מאותה נקודה – סכומם 1.
הסתברות של מסלול = כפל לאורכו.
כמה מסלולים מתאימים – מחברים.

ההסתברות על ענף בשלב השני כבר מותנית: „תקין בבדיקה השנייה, אם היה תקין בראשונה” = 0.9.

תקין בשתי הבדיקות (המסלול המודגש):

0.8 \cdot 0.9 = 0.72

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354715 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

טבלה דו־ממדית

שורות – תכונה אחת, עמודות – התכונה השנייה.
בכל תא – הסתברות של חיתוך, למשל $P (B \cap L)$ .
שורת „סה״כ” ועמודת „סה״כ” – סכומים. בפינה: 1.
משלימים תא חסר בחיסור מהסה״כ.

הסתברות מותנית מהטבלה: התא של החיתוך חלקי הסה״כ של מה שידוע.

	רישיון $L$	אין רישיון $\overset{ˉ}{L}$	סה״כ
בנים $B$	0.125	0.25	0.375
בנות $G$	0.125	0.5	0.625
סה״כ	0.25	0.75	1

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 3

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354716 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הסתברות מותנית – שלב אחרי שלב

מגדירים מאורעות במילים: $A$ – …, $B$ – …
מזהים מה ידוע (זה $B$ , אחרי „ידוע ש…”) ומה מבוקש.
כותבים את הנוסחה: $P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
מחשבים $P (B)$ ו־ $P (A \cap B)$ (מהעץ או מהטבלה).
מציבים ומחשבים.

מילים שמסמנות מותנית

„ידוע ש…”

„בהינתן ש…”

„מבין אלה ש…”

„אם … , מה ההסתברות ש…”

„מבין המתנדבים $\frac{3}{5}$ בנות” זו כבר הסתברות מותנית: $P (G / V) = \frac{3}{5}$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354717 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – העץ (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

כל מחשב נבדק בשתי בדיקות. בראשונה 80% תקינים. אם נמצא תקין בראשונה – ההסתברות שיימצא תקין בשנייה 0.9. אם לא נמצא תקין בראשונה – 0.35.

תקין בדיוק באחת הבדיקות:

0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.35 = 0.08 + 0.07 = 0.15

תקין לפחות באחת הבדיקות – דרך המשלים („אף פעם לא תקין”):

1 - 0.2 \cdot 0.65 = 1 - 0.13 = 0.87

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354718 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הסתברות מותנית (ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. ידוע שהמחשב נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מה ההסתברות שהועבר למכירה?

$A$ – המחשב הועבר למכירה (תקין בשתיהן).

$B$ – המחשב תקין לפחות באחת הבדיקות.

P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

$A$ מוכל ב־ $B$ , ולכן:

P (A \cap B) = P (A) = 0.72

מסעיף ב:

P (B) = 0.87

נציב:

P (A / B) = \frac{0.72}{0.87} = \frac{24}{29} \approx 0.828

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354719 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – כמות ובלי החזרה (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

במחזור יוצרו 250 מחשבים. כמה הועברו למכירה?

250 \cdot 0.72 = 180

כלומר $250 - 180 = 70$ מחשבים לא הועברו.

בוחרים שני מחשבים בזה אחר זה, בלי החזרה. מה ההסתברות שבדיוק אחד הועבר למכירה?

הראשון כן והשני לא, או להפך:

\frac{180}{250} \cdot \frac{70}{249} + \frac{70}{250} \cdot \frac{180}{249}

= \frac{25 , 200}{62 , 250} = \frac{168}{415} \approx 0.405

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547110 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות – טבלה ומותנית

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 3

לשליש מהבנים יש רישיון נהיגה. ההסתברות לבחור בן בלי רישיון היא 0.25. ההסתברות לבחור בן עם רישיון שווה להסתברות לבחור בת עם רישיון.

$B$ – התלמיד הוא בן
$L$ – יש לתלמיד רישיון

P (B) \cdot \frac{2}{3} = 0.25 \Rightarrow P (B) = 0.375

37.5% מהתלמידים בנים.

ידוע שלתלמיד אין רישיון. מה ההסתברות שזה בן?

P (B / \overset{ˉ}{L}) = \frac{P ( B \cap L ˉ )}{P ( L ˉ )} = \frac{0.25}{0.75} = \frac{1}{3}

	$L$	$\overset{ˉ}{L}$	סה״כ
$B$	0.125	0.25	0.375
$G$	0.125	0.5	0.625
סה״כ	0.25	0.75	1

ג. בשכבה 69 בנים:

0.375 \cdot N = 69 \Rightarrow N = 184

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547111 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

„בדיוק אחד” – שני מסלולים: כן־לא וגם לא־כן.
„לפחות אחד” – הכי קצר דרך המשלים.
בלי החזרה – המכנה קטן ב־1 בכל הוצאה.

במותנית: מחלקים ב־ $P$ של מה שידוע, לא של המבוקש.
תמיד להגדיר את המאורעות במילים לפני הנוסחה.
הסתברות יצאה גדולה מ־1 או שלילית? יש טעות.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547112 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

בשקית 3 כדורים אדומים ו־2 כחולים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה.

מה ההסתברות ששניהם אדומים?
מה ההסתברות שהכדורים בצבעים שונים?
ידוע שהכדורים בצבעים שונים. מה ההסתברות שהראשון אדום?
המאורעות $A$ ו־ $B$ בלתי תלויים.
$P (A) = 0.4, P (B) = 0.5$
מהי $P (A \cap B)$ ?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0.3$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0.6$
$A$ – הראשון אדום; $S$ – צבעים שונים
$P (A / S) = \frac{P ( A \cap S )}{P ( S )} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5$
$0.4 \cdot 0.5 = 0.2$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547113 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – הסתברות

הסתברות

מה נלמד?

מושגים בסיסיים

מאורע משלים

חיתוך A∩B

מאורעות בלתי תלויים

בלי החזרה

הנוסחאות מהנוסחאון

עץ הסתברויות

טבלה דו־ממדית

הסתברות מותנית – שלב אחרי שלב

מילים שמסמנות מותנית

שאלת בגרות פתורה – העץ (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – הסתברות מותנית (ג)

שאלת בגרות פתורה – כמות ובלי החזרה (ד, ה)

עוד שאלת בגרות – טבלה ומותנית

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

חיתוך $A \cap B$